Question

11．如圖所示，兩繩系一質量為m=0.1kg的小球，上面繩長L=2m，兩端都拉直時與軸的夾角分別為30°與45°，問：
（1）球的角速度在什么范圍內(nèi)，兩繩始終張緊？
（2）當角速度為3rad/s時，上、下兩繩拉力分別為多大？

Answer 1

分析 （1）當AC繩拉直但沒有力時，BC繩子拉力的水平分力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求出此時的角速度，當BC繩拉直但沒有力時，AC繩子拉力的水平分力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求出角速度，當角速度處于兩者之間時，兩繩均張緊；
（2）當ω=3rad/s時，AC、BC繩子拉力的水平分力的合力提供向心力，豎直方向分力之和與重力平衡，根據(jù)牛頓第二定律列式求解．

解答 解：（1）當AC繩拉直但沒有力時，即F_T1=0時，由重力和繩BC的拉力F_T2的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有：
mgtan45°=m${{ω}_{max}}^{2}r$
其中：r=l•sin30°
解得：ω_max=3.16 rad/s
當F_T2恰為零時，根據(jù)牛頓第二定律，有：
mgtan30°=m${{ω}_{min}}^{2}r$
解得：ω_min=2.4 rad/s
所以當2.4 rad/s＜ω＜3.16 rad/s時兩繩均張緊．
（2）當ω=3 rad/s時，兩繩均處于張緊狀態(tài)，此時小球受F_T1、F_T2、mg三力作用，正交分解后可得：
水平方向：F_T1sin30°+F_T2sin45°=mlsin30°ω²
豎直方向：F_T1cos30°+F_T2cos45°=mg
代入數(shù)據(jù)后解得：
F_T1=0.27 N
F_T2=1.09 N
答：（1）小球的角速度在2.4 rad/s＜ω＜3.16 rad/s范圍內(nèi)兩繩均張緊；
（2）當ω=3rad/s時，AC繩拉力為0.27N，BC繩拉力1.09N．

點評 本題中球做勻速圓周運動，拉力的水平分力提供向心力，關鍵受力分析后根據(jù)牛頓第二定律列式求解，難度適中．