Question

12．若某衛(wèi)星在離地球表面為h的空中沿圓形軌道繞地球飛行，周期為T．若地球半徑R，引力常量為G．試推導(dǎo)：
（1）地球的質(zhì)量表達(dá)式；                   
（2）地球表面的重力加速度表達(dá)式；
（3）地球的第一宇宙速度表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，結(jié)合軌道半徑和周期求出地球的質(zhì)量．
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力求出地球表面的重力加速度．
（3）根據(jù)重力提供向心力求出第一宇宙速度的大小．

解答 解：（1）設(shè)地球的質(zhì)量為M，由萬(wàn)有引力定律可得：$G\frac{Mm}{{{（R+h）}^2}}=m\frac{{{4π}^2}}{T^2}（R+h）$
解得：$M=\frac{{{4π}^2}}{{{GT}^2}}{（R+h）}^3$
（2）設(shè)地球表面的重力加速度為g，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力得：$G\frac{Mm_1}{R^2}=m_1g$
解得：$g=\frac{{{4π}^2}}{{{R^2T}^2}}{（R+h）}^3$
（3）設(shè)地球的第一宇宙速度為v，根據(jù)重力提供向心力得：
$m_2g=m_2\frac{v^2}{R}$
解得：$V=\sqrt{\frac{{{4π}^2{（R+h）}^3}}{T^2R}}$
答：（1）地球的質(zhì)量表達(dá)式$\frac{4{π}_{\;}^{2}}{G{T}_{\;}^{2}}（R+h）_{\;}^{3}$；                   
（2）地球表面的重力加速度表達(dá)式$\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}（R+h）_{\;}^{3}$；
（3）地球的第一宇宙速度表達(dá)式$\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}R}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道不考慮地球自轉(zhuǎn)時(shí)，萬(wàn)有引力等于重力．知道第一宇宙速度等于衛(wèi)星貼著地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度