Question

5．一個(gè)沿水平方向運(yùn)動(dòng)的半徑為R的半圓柱體，在半圓柱面上擱著一根只能在豎直方向上運(yùn)動(dòng)的直桿（套在一個(gè)光滑的套管中），直桿的質(zhì)量為m． 已知在半圓柱體速度為v₀，加速度為a₀時(shí)，桿與半圓柱體接觸點(diǎn)的角位置為θ．如圖所示，求此時(shí)半圓柱對(duì)豎直桿的支持力．

Answer 1

分析 根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解規(guī)律可明確桿對(duì)地的速度和對(duì)地的加速度，再由牛頓第二定律可求得半圓柱對(duì)豎直桿的支持力．

解答 解：取半圓柱體為參照物，則v、a應(yīng)為相對(duì)速度和相對(duì)加速度，豎直桿上的最低點(diǎn)P點(diǎn)相對(duì)于圓柱體的速度v相沿圓柱面上P點(diǎn)的切線方向，因此豎直桿的速度（相對(duì)于地面）應(yīng)為v_相和v的矢量和，如下圖所示，由幾何關(guān)系可知v_相=vtanθ．圓柱體表面上P點(diǎn)的加速度由切向加速度a_t與法向加速度a_n組成，其中a_n=$\frac{{v}_{相}^{2}}{R}$，
即a_n=$\frac{{v}^{2}}{Rco{s}^{2}θ}$，P點(diǎn)的對(duì)地加速度為a_t、a_n的矢量和，
由圖可知acosθ=a₀sinθ-a_ncosθ
解得：a=a₀tanθ--$\frac{{v}_{0}^{2}}{Rco{s}^{3}θ}$
對(duì)桿在豎直方向進(jìn)行分析，由牛頓第二定律可知
F-mg=ma
解得：F=mg+ma₀tanθ-m$\frac{{v}_{0}^{2}}{Rco{s}^{3}θ}$
答：此時(shí)半圓柱對(duì)豎直桿的支持力為mg+ma₀tanθ-m$\frac{{v}_{0}^{2}}{Rco{s}^{3}θ}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查運(yùn)動(dòng)的合成與分解，要注意明確P點(diǎn)相對(duì)于地面運(yùn)動(dòng)合速度可以看作是球運(yùn)動(dòng)的速度以及切向速度的合速度；同時(shí)注意速度、加速度及力等矢量均可以進(jìn)行合成．