Question

14．如圖甲所示，D為粒子源，AB處的裝置為速度選擇器，AB為平行金屬板之間的電壓U，所加勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；平行金屬板M，N長(zhǎng)度均為L(zhǎng)，相距為d，其中N板接地；OO′為中軸線(xiàn)．其中電荷量為q、質(zhì)量為m的帶負(fù)電的粒子，從D沿不同方向，以不同速率射出；從速度選擇器射出的粒子速度為v₀．忽略粒子的重力和粒子之間的相互作用力，忽略電場(chǎng)和磁場(chǎng)的邊緣效應(yīng)．求：

（1）速度選擇器AB兩板之間的距離．
（2）若M、N之間只有電場(chǎng)，M板的電勢(shì)φ隨時(shí)間t的變化圖象如圖乙所示．其周期為$\frac{L}{{v}_{0}}$；從t=0開(kāi)始，大量沿OO′方向持續(xù)攝入M、N之間的離子，最終恰好全部平行離開(kāi)M、N而不打在極板上．則φ₀為多少？
（3）緊貼M、N右側(cè)建立直角坐標(biāo)系xOy，在坐標(biāo)平面的第Ⅰ、Ⅳ象限內(nèi)存在一個(gè)圓形的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向直于坐標(biāo)平面．要使在（2）情景下所有粒子經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，都會(huì)聚于P（2d，2d）點(diǎn)，求該圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）粒子在速度選擇器中做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用平衡條件可以求出極板間的距離．
（2）粒子在MN板間做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以求出電勢(shì)．
（3）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)洛倫茲力提供向心力，求出粒子軌道半徑的臨界值，然后應(yīng)用牛頓第二定律求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的臨界值，再確定磁感應(yīng)強(qiáng)度的范圍．

解答 解：（1）粒子在速度選擇器中做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，
由平衡條件得：q$\frac{U}{jbjzdbu_{0}}$=qv₀B₀，解得，極板間的距離：d₀=$\frac{U}{{B}_{0}{v}_{0}}$；
（2）粒子在MN板間做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，
水平方向：L=v₀T，解得：T=$\frac{L}{{v}_{0}}$，
粒子在MN間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與電勢(shì)φ隨時(shí)間變化規(guī)律的周期相等，
所有粒子剛好能全部離開(kāi)電場(chǎng)而不打在極板上，可以確定在：
t=n$\frac{T}{2}$時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)的粒子恰好分別從極板右側(cè)的上下邊緣平行于極板飛出，
由類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：2×$\frac{1}{2}$×$\frac{q{φ}_{0}}{md}$×$（\frac{T}{2}）^{2}$=$\fracx5o9d4a{2}$，解得：φ₀=$\frac{2mtirktmu^{2}{v}_{0}^{2}}{q{L}^{2}}$；
（3）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，磁場(chǎng)的半徑為R，
當(dāng)P點(diǎn)為圓形磁場(chǎng)的最高點(diǎn)且R=r時(shí)，從MN中平行射出的粒子能全部會(huì)聚于P點(diǎn)，
如圖所示，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qr}$，
圓形磁場(chǎng)半徑最小與最大半徑分別為：R₁、R₂，
由幾何知識(shí)得：2R₁=2d+$\fracyymaz4j{2}$，R₂=2d，
解得，最大與最小磁感應(yīng)強(qiáng)度：B₁=$\frac{4m{v}_{0}}{5qd}$，B₂=$\frac{m{v}_{0}}{2qd}$，
磁感應(yīng)強(qiáng)度的范圍：$\frac{m{v}_{0}}{2qd}$≤B≤$\frac{4m{v}_{0}}{5qd}$；
答：（1）速度選擇器AB兩板之間的距離為$\frac{U}{{B}_{0}{v}_{0}}$．
（2）φ₀為$\frac{2mii9im9m^{2}{v}_{0}^{2}}{q{L}^{2}}$；
（3）該圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的取值范圍是：$\frac{m{v}_{0}}{2qd}$≤B≤$\frac{4m{v}_{0}}{5qd}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在速度選擇器、粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程是解題的前提，作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡、求出粒子臨界軌道半徑是解題的關(guān)鍵；應(yīng)用平衡條件與牛頓第二定律可以解題．