Question

如圖所示，為某游戲裝置的示意圖．高處的光滑水平平臺(tái)上有一質(zhì)量為m的滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）靜止在A點(diǎn)，平臺(tái)的左端有一豎直固定的光滑半圓形細(xì)管BC，其半徑為2R，與水平面相切于C點(diǎn)，CD為一段長(zhǎng)度為5R的粗糙水平軌道，在D處有一豎直固定的半徑為R的光滑四分之一圓弧軌道DE，E點(diǎn)切線豎直，在E點(diǎn)正上方有一離E點(diǎn)高度也為R的旋轉(zhuǎn)平臺(tái)，在旋轉(zhuǎn)平臺(tái)的一條直徑上開有兩個(gè)離軸心距離相等的小孔M、N，平臺(tái)以恒定的角速度旋轉(zhuǎn)時(shí)兩孔均能經(jīng)過(guò)E點(diǎn)的正上方．某游戲者在A點(diǎn)將滑塊瞬間彈出，滑塊第一次到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度為v₀=3

gR

，經(jīng)過(guò)軌道CDE，滑塊第一次滑過(guò)E點(diǎn)后進(jìn)入M孔，又恰能從N孔落下，已知滑塊與CD部分的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.1，重力加速度為g．求：
（1）游戲者對(duì)滑塊所做的功；
（2）滑塊第一次返回到C點(diǎn)時(shí)對(duì)細(xì)管的壓力；
（3）平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω．

Answer 1

（1）從A點(diǎn)到C點(diǎn)，由動(dòng)能定理得到：
W+mg?4R=

1

2

m

v

20

解得：W=0.5mgR
（2）從第一次經(jīng)過(guò)C點(diǎn)到第一次返回C點(diǎn)的整個(gè)過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理，有：
-2μmg?5R=

1

2

m

v

2C

-

1

2

m

v

20

在C點(diǎn)，由牛頓第二定律，得到：
F_N-mg=m

v 2C

2R

聯(lián)立解得：F_N=4.5mg，方向豎直向下
（3）從第一次經(jīng)過(guò)C點(diǎn)到M點(diǎn)，由動(dòng)能定理，得：
-2μmg?5R-mg?2R=

1

2

m

v

2M

-

1

2

m

v

2C

從點(diǎn)M落回到點(diǎn)N的時(shí)間為：t=

2vM

g

對(duì)轉(zhuǎn)盤，有：t=

(2n+1)π

ω

（n=0、1、2、…）
聯(lián)立求解得：ω=

(2n+1)π gR

4R

（n=0、1、2、…）
答：（1）游戲者對(duì)滑塊所做的功為0.5mgR；
（2）滑塊第一次返回到C點(diǎn)時(shí)對(duì)細(xì)管的壓力為4.5mg，方向豎直向下；
（3）平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω為

(2n+1)π gR

4R

（n=0、1、2、…）．