Question

【題目】如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy平面的第Ⅱ象限內(nèi)有半徑為R的圓O1分別與x軸、y軸相切于P（﹣R，0）、Q（0，R） 兩點(diǎn)，圓O1內(nèi)存在垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．與y軸負(fù)方向平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)左邊界與y軸重合，右邊界交x軸于M點(diǎn)，一帶正電的粒子A（重力不計(jì)）電荷量為q、質(zhì)量為m，以某一速率垂直于x軸從P點(diǎn)射入磁場(chǎng)，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)恰好從Q點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)，最后從M點(diǎn)以與x軸正向夾角為45°的方向射出電場(chǎng)．求：

（1）OM之間的距離；
（2）該勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E；
（3）若另有一個(gè)與A的質(zhì)量和電荷量相同、速率也相同的粒子A′，從P點(diǎn)沿與x軸負(fù)方向成30°角的方向射入磁場(chǎng)，則粒子A′再次回到x軸上某點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)的坐標(biāo)值為多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)粒子A速率為v0，其軌跡圓圓心在O點(diǎn)，故A運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)時(shí)速度與y軸垂直，粒子A從D至G作類平拋運(yùn)動(dòng)，

令其加速度為a，在電場(chǎng)中運(yùn)行的時(shí)間為t，

則有：

x=OG=v0t …①

和 tan45°= = …②

聯(lián)立①②解得： = = tan45°=

故有：OG=2R…③

答：OG之間的距離2R；

（2）解：粒子A的軌跡圓半徑為R，由

得 …④

…⑤

聯(lián)立①③⑤得

解得：E=

答：該勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度 ；

（3）解：令粒子A′軌跡圓圓心為O′，因?yàn)椤螼′CA′=90°，O′C=R，以 O′為圓心，R為半徑做A′的軌跡圓交圓形磁場(chǎng)O1于H點(diǎn)，

則四邊形CO′H O1為菱形，故O′H∥y軸，粒子A′從磁場(chǎng)中出來(lái)交y軸于I點(diǎn)，HI⊥O′H，

所以粒子A′也是垂直于y軸進(jìn)入電場(chǎng)的，令粒子A′從J點(diǎn)射出電場(chǎng)，交x軸于K點(diǎn)，

因與粒子A在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)類似，

∠JKG=45°，GK=GJ．

OI﹣JG=R

又OI=R+Rcos30°

解得：JG=Rcos30°= R

粒子A′再次回到x軸上的坐標(biāo)為（2R+ R，0）

答：若另有一個(gè)與A的質(zhì)量和電荷量相同、速率也相同的粒子A′，從C點(diǎn)沿與x軸負(fù)方向成30°角的方向射入磁場(chǎng)，則粒子A′再次回到x軸上某點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)的坐標(biāo)值為（2R+ R，0）．

【解析】（1）從D至G作類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律列方程求解OG之間的距離；（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由圓周運(yùn)動(dòng)的半徑表示出粒子的速度，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E；（3）結(jié)合題意作出所以粒子A′的運(yùn)動(dòng)軌跡，粒子A′也是垂直于y軸進(jìn)入電場(chǎng)的，結(jié)合幾何知識(shí)求解粒子A′再次回到x軸上某點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)的坐標(biāo)值．