Question

7．如圖所示，平面直角坐標(biāo)系xoy的第一象限存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度為E，第四象限存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場．一質(zhì)量為m，電荷量為+q的粒子從y軸的A點(diǎn)以速度v₀沿x軸正方向進(jìn)入電場，經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)后從x軸的C點(diǎn)進(jìn)入磁場，其方向與x軸正方向成30°角，最后從y軸的D點(diǎn)垂直射出，不計(jì)重力．求：
（1）粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場的位置C與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離L；
（2）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度及粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）若使粒子經(jīng)磁場后不再進(jìn)入電場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解求解帶電粒子在C點(diǎn)豎直方向的速度，再根據(jù)帶電粒子在勻強(qiáng)電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)求解粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場的位置C與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離L；
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡圖，由幾何關(guān)系求半徑和粒子軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，根據(jù)軌道半徑計(jì)算公式和周期計(jì)算公式求解；
（3）若帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)恰好與y軸相切時(shí)，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡圖，根據(jù)幾何關(guān)系和牛頓第二定律列式求解磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足的條件．

解答 解：（1）帶電粒子在C點(diǎn)，由速度的合成與分解可知：${v_y}={v_0}tg{30^o}$…①
帶電粒子在勻強(qiáng)電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，
由牛頓第二定律：qE=ma得：$a=\frac{qE}{m}$…②
再由類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律列式，有v_y=at₁…③
L=v₀t₁…④
聯(lián)立①②③④式解得：$L=\frac{{\sqrt{3}mv_0^2}}{3qE}$…⑤
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，并設(shè)運(yùn)動(dòng)速度大小為v，軌道半徑為R，
根據(jù)速度的合成與分解可知：vcos30°=v₀則：$v=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}{v_0}$…⑥
由幾何關(guān)系得：Rcos60°=L，即：R=2L…⑦
再根據(jù)牛頓第二定律，有：$qBv=m\frac{v^2}{R}$…⑧
聯(lián)立⑥⑦⑧式解得：$B=\frac{E}{v_0}$…⑨
通過幾何關(guān)系不難發(fā)現(xiàn)，帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角$θ=\frac{5}{6}π$
且圓周運(yùn)動(dòng)的周期$T=\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}$…⑩
那么，帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t_2}=\frac{5}{12}T=\frac{{5πm{v_0}}}{6qE}$…（11）
（3）若帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)恰好與y軸相切時(shí)，對(duì)應(yīng)的磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀，并設(shè)軌跡半徑為r₀，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．
幾何關(guān)系為：${r_0}+{r_0}cos{60^o}=L$…（12）
由牛頓第二定律列式得：$q{B_0}v=m\frac{v^2}{r_0}$…（13）
聯(lián)立以上兩式整理得：${B_0}=\frac{3E}{v_0}$…（14）
那么，磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足的條件是：$B＜\frac{3E}{v_0}$．
答：（1）粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場的位置C與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{3qE}$；
（2）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為$\frac{E}{{v}_{0}}$，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間$\frac{5πm{v}_{0}}{6qE}$；
（3）若使粒子經(jīng)磁場后不再進(jìn)入電場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小應(yīng)滿足$B＜\frac{3E}{{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)情況分析，一般是確定圓心位置，根據(jù)幾何關(guān)系求半徑，結(jié)合洛倫茲力提供向心力求解未知量；根據(jù)周期公式結(jié)合軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角求時(shí)間．