Question

【題目】有電阻的導(dǎo)電圓盤半徑為R，其邊緣用電阻不計(jì)的導(dǎo)電材料包裹，可繞固定點(diǎn)O在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，其軸心O和邊緣處電刷A均不會(huì)在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生阻力，空氣阻力也忽略不計(jì)。用導(dǎo)線將電動(dòng)勢(shì)為E的電源、導(dǎo)電圓盤、電阻和開關(guān)連接成閉合回路，如圖1所示在圓盤所在區(qū)域內(nèi)充滿豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如圖2所示只在A、O之間的一塊圓形區(qū)域內(nèi)存在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩圖中磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，且磁場(chǎng)區(qū)域固定。如果將開關(guān)S閉合，圓盤將會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)。

（1）在圖1中，將開關(guān)S閉合足夠長(zhǎng)時(shí)間后，圓盤轉(zhuǎn)速達(dá)到穩(wěn)定。

a．從上往下看，圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)方向是順時(shí)針還是逆時(shí)針？

b．求穩(wěn)定時(shí)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω1的大小。

（2）在圖2中，進(jìn)行了兩次操作：第一次，當(dāng)圓盤加速到ω0時(shí)將開關(guān)斷開，圓盤逐漸減速停下；第二次，當(dāng)圓盤加速到2ω0時(shí)將開關(guān)斷開，圓盤逐漸減速停下。已知從理論上可以證明：在圓盤減速過(guò)程中任意一個(gè)極短的時(shí)間△t內(nèi)，角速度的變化量△ω=kF△t，F是該時(shí)刻圓盤在磁場(chǎng)區(qū)域受到的安培力的大小，k為常量。求兩次操作中從開始減速到停下的過(guò)程中圓盤轉(zhuǎn)過(guò)的角度之比θ1：θ2。

（3）由于圖1中的磁場(chǎng)范圍比圖2中的大，所以剛閉合開關(guān)瞬時(shí)，圖1中圓盤比圖2中圓盤加速得快。有人認(rèn)為：斷開開關(guān)后，圖1中圓盤也將比圖2中圓盤減速得快。請(qǐng)分析說(shuō)明這樣的想法是否正確。

Answer 1

【答案】（1）a．從上往下看，圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)方向是逆時(shí)針。b．穩(wěn)定時(shí)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω1的大小是。（2）θ1：θ2是1：2。（3）這樣的想法錯(cuò)誤

【解析】

（1）a．根據(jù)左手定則知：從上往下看，圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)方向是逆時(shí)針?lè)较颉?/span>

b．圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生沿半徑方向的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，在與軸O距離為r處沿半徑方向取一小段長(zhǎng)度△r，這一小段距離上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：△E感=Brω△r

從軸O到圓盤邊緣處求和，可得感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：

。

當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)穩(wěn)定后，圓盤的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)（即反電動(dòng)勢(shì)）與電源電動(dòng)勢(shì)相等，因此有：

ω1=E

解得：ω1=。

（2）圖2中開關(guān)斷開圓盤減速時(shí)，由于磁場(chǎng)區(qū)域固定，所以仍有圓盤的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E感∝ω，且可認(rèn)為圓盤中電流流經(jīng)的路徑及電阻不變，因此安培力F∝I∝E感∝ω，即安培力F與角速度ω成正比；

由題意知：在任意一段極短的時(shí)間△t內(nèi)，角速度的變化量△ω=kF△t，考慮到其中F∝ω，可知△ω=k′ω△t（k′為另一常量），又因?yàn)?/span>ω△t=△θ（圓盤轉(zhuǎn)過(guò)角度的變化量），因此有：對(duì)應(yīng)任一小段時(shí)間△t，總有△θ∝△ω。

所以，從開始減速到停下的這段時(shí)間內(nèi)，圓盤轉(zhuǎn)過(guò)的角度正比于其角速度的改變量，即為：

θ1：θ2=ω0：2ω0=1：2。

（3）開關(guān)斷開后，由于圖1中磁場(chǎng)充滿整個(gè)圓盤，使得圓盤沿每條半徑方向的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)都一樣大，電荷只在盤心和盤邊緣處積累，不會(huì)在圓盤內(nèi)部形成電流（渦流），因此在開關(guān)斷開后，只要沒有其它的阻力，圓盤將勻速轉(zhuǎn)動(dòng)不會(huì)減速。圖2中由于磁場(chǎng)存在于圓盤中的一部分區(qū)域內(nèi)，使得開關(guān)斷開后，仍有電流在圓盤內(nèi)部形成回路（渦流），進(jìn)而引起安培力使圓盤減速。因此這樣的想法錯(cuò)誤。