Question

游樂場的過山車可以底朝上在圓軌道上運行，游客卻不會掉下來（如圖1）．我們把這種情況抽象為圖2的模型：弧形軌道的下端與豎直圓軌道相接，使小球從弧形軌道上端無初速滾下，小球進入圓軌道下端后沿圓軌道運動，其中M、N分別為圓軌道的最低點和最高點．實驗發(fā)現(xiàn)，只要h大于一定值，小球就可以順利通過圓軌道的最高點．如果已知圓軌道的半徑為R=5.0m小球質(zhì)量為m=1.0kg（不考慮摩擦等阻力）問：

（1）h至少為多大？才可使小球沿圓軌道運動而不掉下來．
（2）如果h=15m，小球通過M點時的速度為多大？此時軌道對小球的支持力為多大？
（3）高度h大，小球滑至N點時軌道對小球的壓力F_N越大，試推出F_N于h函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：小球恰能通過最高點，那么小球在最高點時應該是恰好是物體的重力作為物體的向心力，由向心力的公式可以求得此時的最小的速度，再由機械能守恒可以求得離地面的高度h．
根據(jù)機械能守恒求得小球在M點的速度，根據(jù)牛頓第二定律可求得軌道對小球的支持力

解答：解：（1）小球恰能通過N點，即小球通過最高點時恰好不受軌道的壓力，重力提供向心力，
即應滿足：mg=

m v 2 N

R

         
小球運動到最高點的過程中，只有重力做功，由機械能守恒定律：mg(h-2R)=

1

2

m

v

2 N

解得：h=

5

2

R=12.5m
（2）由機械能守恒定律：mgh=

1

2

m

v

2 M

，解得v_M=17m/s
牛頓第二定律：F_M-mg=

m v 2 M

R

代入數(shù)據(jù)，解得：F_M=70N
（3）小球由靜止運動到最高點的過程中，機械能守恒，則：mg(h-2R)=

1

2

m

v

2 N

小球在最高點，在重力和軌道的壓力下作圓周運動，根據(jù)牛頓第二定律：
F_N+mg=

m v 2 N

R

解得：F_N=

2mgh

R

-5mg=4h-50（h≥12.5m）  
答：（1）h至少為12.5m時，才可使小球沿圓軌道運動而不掉下來．
（2）如果h=15m，小球通過M點時的速度為17m/s，此時軌道對小球的支持力為70N；
（3）推出F_N于h函數(shù)關(guān)系式：F_N=4h-50（h≥12.5m）

點評：本題屬于圓周運動中繩的模型，在最高點時應該是重力恰好作為圓周運動的向心力，對于圓周運動中的兩種模型一定要牢牢的掌握．