Question

15．2007年10月24日18時(shí)05分，我國成功發(fā)射了“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星．某同學(xué)查閱了一些與地球、月球有關(guān)的數(shù)據(jù)資料并設(shè)計(jì)了以下兩個(gè)問題．
（1）已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T，月球繞地球的運(yùn)動(dòng)可以近似看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．試求月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r．
（2）假設(shè)某宇航員乘登月飛船登陸月球后，在月球表面用彈簧秤測(cè)出質(zhì)量為m的物體重力為F₀已知月球半徑為R_月，萬有引力常量G．試求月球的質(zhì)量M_月．

Answer 1

分析 （1）月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，由萬有引力公式和牛頓第二定律，列式求出月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；
（2）小球在月球表面做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出月球上的重力加速度，代入萬有引力公式可以求出月球的質(zhì)量

解答 解：（1）月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬有引力提供，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律，有G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
對(duì)地球表面上的物體，有G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
聯(lián)立解得r=$\root{3}{\frac{{R}^{2}{T}^{2}g}{4{π}^{2}}}$．
（2）設(shè)月球表面重力加速度為g_月，小球做平拋運(yùn)動(dòng)．飛行時(shí)間為t，則：h=$\frac{1}{2}$g_月t²，s=v₀t
對(duì)月球表面上質(zhì)量為m的物體，有G$\frac{{M}_{月}m}{{R}_{月}^{2}}$=mg_月
故：M_月=$\frac{2h{R}_{月}^{2}{V}_{0}^{2}}{G{s}^{2}}$
答：（1）月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為$\root{3}{\frac{{R}^{2}{T}^{2}g}{4{π}^{2}}}$；
（2）月球的質(zhì)量為$\frac{2h{R}_{月}^{2}{V}_{0}^{2}}{G{s}^{2}}$

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是根據(jù)萬有引力提供向心力，由向心力公式和萬有引力公式列式求解