Question

18．如圖，帶等量異種電荷的金屬板平行正對(duì)傾斜放置，金屬板與水平方向的夾角為θ，金屬板長(zhǎng)為L(zhǎng)，一電荷量為q、質(zhì)量為m的帶負(fù)點(diǎn)微粒從下板邊緣的A點(diǎn)以水平速度v₀進(jìn)入兩板間，沿直線到達(dá)上板邊緣的B點(diǎn)，隨即進(jìn)入一圓形區(qū)域．圓形區(qū)域與金屬板間電場(chǎng)不重疊，該區(qū)域內(nèi)有重疊的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中電場(chǎng)未畫(huà)出），微粒在此區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，并豎直向下穿出該區(qū)域．已知區(qū)域內(nèi)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，重力加速度為g，試求：
（1）微粒進(jìn)入圓形區(qū)域時(shí)的速度v；
（2）圓形區(qū)域內(nèi)勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E的大小和方向；
（3）微粒在圓形區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；
（4）在圓形區(qū)域的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，微粒機(jī)械能的變化量△E．

Answer 1

分析 （1）微粒受電場(chǎng)力和重力作用下沿AB勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律求解微粒進(jìn)入圓形區(qū)域的速度大�。�
（2）微粒在圓形區(qū)域內(nèi)勻速圓周運(yùn)動(dòng)，微粒所受合力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，故可知微粒所受重力與電場(chǎng)力平衡，洛倫茲力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，據(jù)此求電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向；
（3）根據(jù)粒子圓周運(yùn)動(dòng)由速度方向的變化確定圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角，根據(jù)周期求得粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（4）由微粒圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡求得微粒豎直方向下落的高度，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有電場(chǎng)力做功和重力做功，故機(jī)械能的減小量等于電場(chǎng)力對(duì)微粒所做的功．

解答 解：（1）微粒在平行板間做勻加速直線運(yùn)動(dòng)
mgtanθ=ma
根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：
$2a{x}_{AB}={v}^{2}-{v}_{0}^{2}$
由圖可知，${x}_{AB}=\frac{L}{cosθ}$
可得微粒進(jìn)入圓形區(qū)域的速度v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2gLsinθ}{co{s}^{2}θ}}$
（2）微粒在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有電場(chǎng)力和重力平衡
qE=mg
可得電場(chǎng)強(qiáng)度E=$\frac{mg}{q}$，因?yàn)槲⒘�帶�?fù)電，所以場(chǎng)強(qiáng)的方向豎直向下；
（3）微粒做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期$T=\frac{2πm}{qB}$
微粒在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過(guò)圓心角$θ=\frac{π}{2}$
所以微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=$\frac{θ}{2π}T=\frac{\frac{π}{2}}{2π}•\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πm}{2qB}$
（4）粒子機(jī)械能的減少量
△E=-qEh
根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡可知，微粒下落距離h=R
根據(jù)洛倫茲力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
可得微粒損失的機(jī)械能
△E=$-\frac{{m}^{2}g\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2gLsinθ}{co{s}^{2}θ}}}{qB}$
答：（1）微粒進(jìn)入圓形區(qū)域時(shí)的速度v為$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2gLsinθ}{co{s}^{2}θ}}$；
（2）圓形區(qū)域內(nèi)勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E的大小為$\frac{mg}{q}$方向豎直向下；
（3）微粒在圓形區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t為$\frac{πm}{2qB}$；
（4）在圓形區(qū)域的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，微粒機(jī)械能的變化量△E為$-\frac{{m}^{2}g\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2gLsinθ}{co{s}^{2}θ}}}{qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡是正確解題的前提，并熟練掌握周期公式和半徑公式是解題的關(guān)鍵．