Question

5．一臺質(zhì)譜儀的工作原理如圖所示，電荷量均為+q、質(zhì)量不同的離子飄入電壓為U₀的加速電場，其初速度幾乎為零，這些離子經(jīng)加速后通過狹縫O沿著與磁場垂直的方向進入磁感應強度為B的勻強磁場，最后打在底片上，已知放置底片的區(qū)域MN=L，且OM=L．某次測量發(fā)現(xiàn)MN中左側(cè)$\frac{2}{3}$區(qū)域MQ損壞，檢測不到離子，但右側(cè)$\frac{1}{3}$區(qū)域QN仍能正常檢測到離子，在適當調(diào)節(jié)加速電壓后，原本打在MQ的離子即可在QN檢測到．
（1）求原本打在MN中點P的離子質(zhì)量m；
（2）為使原本打在P的離子能打在QN區(qū)域，求加速電壓U的調(diào)節(jié)范圍；
（3）為了在QN區(qū)域?qū)⒃�本打在MQ區(qū)域的所有離子檢測完整，求需要調(diào)節(jié)U的最少次數(shù)．（取lg2=0.301，lg3=0.477，lg5=0.699）

Answer 1

分析 （1）離子先由電場加速，后進入磁場做勻速圓周運動．先根據(jù)動能定理求出電場加速獲得的速度表達式，再由幾何關(guān)系求出磁場中軌跡半徑，由洛倫茲力等于向心力，列式求解離子的質(zhì)量．
（2）由幾何關(guān)系得到離子打在N點和Q點時的軌跡半徑，由上式結(jié)果求解電壓U的范圍．
（3）運用歸納法，根據(jù)軌跡半徑與電壓的關(guān)系，得到調(diào)節(jié)電壓U的次數(shù)表達式，再進行求解．

解答 解：（1）離子在電場中加速，由動能定理得：qU₀=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$…①
在磁場中做勻速圓周運動，則有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$…②
解得：r=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$
代入r₀=$\frac{3}{4}$L解得：m=$\frac{9q{B}^{2}{L}^{2}}{32{U}_{0}}$
（2）由（1）中第①②兩式知：U=$\frac{q{B}^{2}{r}^{2}}{2m}$
離子打在Q點，軌跡半徑為：r=$\frac{5}{6}L$=$\frac{10}{9}$r₀，則有：U=$\frac{100{U}_{0}}{81}$
離子打在N點，軌跡半徑為：r=L=$\frac{4}{3}$r₀，U=$\frac{16{U}_{0}}{9}$
則電壓的范圍為：$\frac{100{U}_{0}}{81}$≤U≤$\frac{16{U}_{0}}{9}$．
（3）由（1）知，r∝$\sqrt{U}$
由題意知，第1次調(diào)節(jié)電壓到U₁，使原本打在Q點的離子打在N點，則 $\frac{L}{\frac{5}{6}L}$=$\frac{\sqrt{{U}_{1}}}{\sqrt{{U}_{0}}}$
此時，原本半徑為r₁的打在Q₁的離子打在Q上，$\frac{\frac{5}{6}L}{{r}_{1}}$=$\frac{\sqrt{{U}_{1}}}{\sqrt{{U}_{0}}}$
解得 r₁=（$\frac{5}{6}$）²L
第2次調(diào)節(jié)電壓到U₂，使原本打在Q₁的離子打在N點，原本半徑為r₂的打在Q₂的離子打在Q上，則
  $\frac{L}{{r}_{1}}$=$\frac{\sqrt{{U}_{2}}}{\sqrt{{U}_{0}}}$，$\frac{\frac{5}{6}L}{{r}_{2}}$=$\frac{\sqrt{{U}_{2}}}{\sqrt{{U}_{0}}}$
解得 r₂=（$\frac{5}{6}$）³L=$\frac{125}{216}L$
同理，第n次調(diào)節(jié)電壓，有  r_n=（$\frac{5}{6}$）ⁿ⁺¹L
檢測完整，有 r_n≤$\frac{L}{2}$
解得 n≥$\frac{lg2}{lg\frac{6}{5}}$-1≈2.8
故需要調(diào)節(jié)U的最少次數(shù)為3次．
另一種解法（第三次調(diào)節(jié)電壓到U₃，使原本打到Q₂點的離子打到N點，有：$\frac{L}{（\frac{5}{6}）^{3}L}=\frac{\sqrt{{U}_{3}}}{\sqrt{{U}_{0}}}$，此時，設(shè)原本半徑為r₃的打在Q₃的離子打在Q上，則$\frac{\frac{5}{6}L}{{r}_{3}}$=$\frac{\sqrt{{U}_{3}}}{\sqrt{{U}_{0}}}$，解得：r₃=$（\frac{5}{6}）^{4}L$=$\frac{625}{1296}L$＜$\frac{1}{2}L$，調(diào)節(jié)電壓的次數(shù)最少為3次．）
答：（1）原本打在MN中點P的離子質(zhì)量m為$\frac{9q{B}^{2}{L}^{2}}{32{U}_{0}}$；
（2）為使原本打在P的離子能打在QN區(qū)域，加速電壓U的調(diào)節(jié)范圍為 $\frac{100{U}_{0}}{81}$≤U≤$\frac{16{U}_{0}}{9}$；
（3）需要調(diào)節(jié)U的最少次數(shù)為3次．

點評 本題是動能定理和牛頓定律的綜合題，解決本題的關(guān)鍵會運用幾何知識和歸納法分析離子軌道半徑變化的規(guī)律，靈活運用動能定律和牛頓第二定律解答．