Question

10．如圖甲所示，一豎直平面內(nèi)的軌道由粗糙斜面AD和光滑圓軌道DCE組成，AD與DCE相切于D點，C為圓軌道的最低點，將一小物塊置于軌道ADC上離地面高為H處由靜止釋放，用壓力傳感器測出其經(jīng)過C點時對軌道的壓力N，改變H的大小，可測出相應的N的大小，N隨H的變化關(guān)系如圖乙折線PQI所示（PQ與QI兩直線相連接于Q點），QI反向延長交縱軸于F點（0，5.8N），重力加速度g取lm/s²，求：

（1）圖線上的PQ段是對應物塊在哪段軌道上由靜止釋放（無需說明理由）？并求出小物塊的質(zhì)量m；
（2）圓軌道的半徑R、軌道DC所對應的圓心角θ；
（3）小物塊與斜面AD間的動摩擦因數(shù)μ．

Answer 1

分析 （1）從圖象得到H=0時的彈力，即為物體的重力，從而得到物體的質(zhì)量m；
（2）結(jié)合圖象可以得到當H=0.2m時，物體恰好在斜面最低點，根據(jù)機械能守恒定律和向心力公式聯(lián)立列式求解出圓軌道的半徑R，然后可根據(jù)幾何關(guān)系得到軌道DC所對圓心角；
（3）對滑塊從最高點到C點的過程運用動能定理列式，再對最低點運用向心力公式和牛頓第二定律列式，聯(lián)立后求解出彈力的一般表達式，再根據(jù)圖象求解出動摩擦因數(shù)．

解答 解：（1）對應物塊在DC軌道上運動，由圖線可知，H=0時靜止于P點，則 N=mg=5N，得 m=0.5kg．
（2）當物塊在圓軌道DC上運動時由動能定理得
   mgH=$\frac{1}{2}$mv²
解得 v=$\sqrt{2gH}$                             ①
由向心力公式得 N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$       ②
由①、②式可得N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$+mg=$\frac{2mg}{R}$H+mg；
由圖象斜率可知 $\frac{2mg}{R}$=10  得 R=1m
據(jù)分析圖象中的PQ部分對應光滑軌道DC段，D點離開地面的高度
  H_D=R（1-cosθ）=1×（1-cosθ）=0.2
解得 θ=37°．
（3）當物塊由斜面上滑下時由動能定理得
   mgH-μmgcosθ$\frac{（H-0.2）}{sinθ}$=$\frac{1}{2}$mv²   ③
③式代入向心力公式 N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
得 N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$+mg=$\frac{2mg-\frac{8}{3}μmg}{R}$H+$\frac{1.6}{3}$μmg+mg
結(jié)合QI曲線知 $\frac{1.6}{3}$μmg+mg=5.8
解得 μ=0.3．
答：
（1）小物塊的質(zhì)量m為0.5kg．
（2）圓軌道的半徑及軌道DC所對圓心角37°．
（3）小物塊與斜面AD間的動摩擦因數(shù)μ為0.3．

點評 本題關(guān)鍵是對分析清楚滑塊的各個運動過程，把握每個過程和狀態(tài)的物理規(guī)律，然后運用動能定理、機械能守恒定律和向心力公式，得到表達式，再研究圖象的物理意義．