Question

如圖所示，質(zhì)量m_B=3.5kg的物體B通過一輕彈簧固連在地面上，彈簧的勁度系數(shù)k=100N/m．一輕繩一端與物體B連接，繞過無摩擦的兩個(gè)輕質(zhì)小定滑輪O₁、O₂后，另一端與套在光滑直桿頂端的、質(zhì)量m_A=1.6kg的小球A連接．已知直桿固定，桿長(zhǎng)L為0.8m，且與水平面的夾角θ=37°．初始時(shí)使小球A靜止不動(dòng)，與A端相連的繩子保持水平，此時(shí)繩子中的張力F為45N．已知AO₁=0.5m，重力加速度g取10m/s²，繩子不可伸長(zhǎng)．現(xiàn)將小球A從靜止釋放，則：
（1）在釋放小球A之前彈簧的形變量；
（2）若直線CO₁與桿垂直，求物體A運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中繩子拉力對(duì)物體A所做的功；
（3）求小球A運(yùn)動(dòng)到底端D點(diǎn)時(shí)的速度．

Answer 1

分析：（1）釋放A球前，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，隔離物體B便可求出彈簧的彈力，進(jìn)而由胡克定律求得彈簧的形變量
（2）小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中，繩的拉力為變力，應(yīng)用動(dòng)能定理求解變力的功，同時(shí)考慮A、B、彈簧組成的相互作用的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
（3）A球的下降過程，A、B、彈簧組成的相互作用的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，注意A、B的速度之間的牽連關(guān)系，列出機(jī)械能守恒的方程可解．

解答：解：（1）釋放小球前，B處于靜止?fàn)顟B(tài)，由于繩子拉力大于重力，故彈簧被拉伸，設(shè)彈簧形變量為x有：
kx=F-m_Bg
所以，x=0.1m
（2）對(duì)A球從頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C的過程應(yīng)用動(dòng)能定理得：
W+m_Agh=

1

2

m_A

v

2 A

-0①
其中，h=xco1cos37°
而xco1=xAO1sin37°=0.3m
物體B下降的高度h^′=xAO1-xco1=0.2m②
由此可知，彈簧此時(shí)被壓縮了0.1m，此時(shí)彈簧彈性勢(shì)能與初狀態(tài)相等，對(duì)于A、B、和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒：
m_Agh+m_Bgh^′=

1

2

m_A

v

2 A

+

1

2

m_B

v

2 B

③
由題意知，小球A運(yùn)動(dòng)方向與繩垂直，此瞬間B物體速度v_B=0④
由①②③④得，W=7J
（3）由題意知，桿長(zhǎng)L=0.8m，故∠CDO₁=θ=37°
故DO₁=AO₁，當(dāng)A到達(dá)D時(shí)，彈簧彈性勢(shì)能與初狀態(tài)相等，物體B又回到原位置，在D點(diǎn)對(duì)A的速度沿平行于繩和垂直于繩兩方向進(jìn)行分解，
可得，平行于繩方向的速度即為B的速度，由幾何關(guān)系得：

v

′ B

=

v

′ A

cos37°⑤
對(duì)于整個(gè)下降過程由機(jī)械能守恒得：m_AgLsin37°=

1

2

m_A

v

′2 A

+

1

2

m_B

v

′2 B

⑥
由⑤⑥得：

v

′ A

=2m/s
答：（1）彈簧形變量為0.1m
（2）繩子拉力對(duì)物體A所做的功7J
（3）小球A運(yùn)動(dòng)到底端D點(diǎn)時(shí)的速度為2m/s

點(diǎn)評(píng)：涉及彈簧的問題往往要向機(jī)械能守恒定律方向考慮，注意一個(gè)彈簧的彈性勢(shì)能僅僅由其形變量決定，與是拉伸還是壓縮無關(guān)；不在同一直線的連接體的運(yùn)動(dòng)，要運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解的辦法解決兩者的速度間的關(guān)系，往往將速度沿著繩的方向與垂直于繩的方向分解