Question

12．在平面直角坐標系所確定的平面內存在如圖所示勻強磁場區(qū)域，在x軸上方磁場方向均垂直紙面向外，下方磁場方向均垂直紙面向里，已知第一、四象限內磁場大小均為B₁；二、三象限內磁場大小均為B₂．且B₁＜B₂．在y軸上某一點P（0，h）不斷以與y軸負方向成45°角發(fā)射各種速率的帶電粒子．所有粒子帶電均為+q，質量均為m．這些粒子只受磁場力在平面內運動，試問：
（1）若發(fā)射的粒子中能夠經過坐標原點O，則其速率應滿足什么條件？
（2）若經過坐標原點的粒子通過第三、四象限的磁場偏轉后第一次通過x正半軸時的速度方向恰好與x軸垂直，則磁場$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$是多少？

Answer 1

分析 （1）根據洛倫茲力提供向心力，結合牛頓第二定律，推導半徑公式，再由已知長度與半徑的幾何關系，即可求解；
（2）根據題意，結合幾何關系，即可畫出運動軌跡，從而求得運動軌道對應的半徑，即可求解．

解答 解：（1）根據洛倫茲力提供向心力，帶電粒子做勻速圓周運動，
可能是如圖所示：

則有：${B}_{1}qv=\frac{m{v}^{2}}{{R}_{1}}$；
解得：R₁=$\frac{mv}{{B}_{1}q}$；
由圖中幾何關系可知，R₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$h；
因此速率滿足v=$\frac{\sqrt{2}{B}_{1}qh}{2m}$；
也可能是：

由圖，結合幾何關系，則有：n（$\sqrt{2}$r₁-$\sqrt{2}$r₂）=h；
解得：v=$\frac{\sqrt{2}qh{B}_{1}{B}_{2}}{2nm（{B}_{2}-{B}_{1}）}$
（2）由題意可知，帶電粒子以45°入射，做$\frac{1}{4}$圓周進入第三象限，由幾何的對稱性，則仍做$\frac{1}{4}$圓周進入第四象限，
由于磁場偏轉后第一次通過x正半軸時的速度方向恰好與x軸垂直，因此帶電粒子在第四象限做$\frac{3}{8}$圓周運動，軌跡如上圖所示．
帶電粒子在洛倫茲力作用下，不做功，則速率不變，因此粒子在第一、四象限的運動半徑相等，即為R₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$h；
而帶電粒子在第三象限的運動半徑，則為R₂=$\frac{{R}_{1}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$h；
根據半徑公式R=$\frac{mv}{Bq}$，則有：$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$=$\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}$=$\frac{1}{2}$；
答：（1）若發(fā)射的粒子中能夠經過坐標原點O，則其速率應滿足$\frac{\sqrt{2}{B}_{1}qh}{2m}$或$\frac{\sqrt{2}qh{B}_{1}{B}_{2}}{2nm（{B}_{2}-{B}_{1}）}$條件；
（2）若經過坐標原點的粒子通過第三、四象限的磁場偏轉后第一次通過x正半軸時的速度方向恰好與x軸垂直，則磁場$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$是$\frac{1}{2}$．

點評 考查帶電粒子在磁場中受到洛倫茲力，做勻速圓周運動，掌握牛頓第二定律的應用，理解幾何關系的正確建立，注意畫出運動軌跡是解題的關鍵．