Question

6．如圖所示，固定在豎直平面內(nèi)的軌道由三部分組成：光滑曲線軌道AB，其B端的切線沿水平方向；水平的平直軌道BC，其右端在B點(diǎn)與曲線軌道平滑連接；半圓形軌道CD，其直徑CD沿豎直方向，且C端與平直軌道平滑連接，整個(gè)軌道處于豎直平面內(nèi)．已知BC軌道的長度L=0.64m，半圓形軌道的半徑R=0.10m．現(xiàn)有一質(zhì)量m₁=0.16kg的小滑塊1從曲線軌道距B端高h(yuǎn)=0.80m處由靜止下滑，并與靜止在B點(diǎn)的、質(zhì)量m₂=0.04kg的小滑塊2發(fā)生碰撞，碰撞后兩滑塊立即粘在一起運(yùn)動(dòng)．當(dāng)兩個(gè)小滑塊一起運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)的速度大小v_C=3.0m/s，已知兩個(gè)小滑塊均可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，重力加速度取g=10m/s²．求：
（1）小滑塊1與小滑塊2碰撞前瞬間的速度大��；
（2）小滑塊1與小滑塊2碰撞后瞬間的速度大小；
（3）小滑塊1與小滑塊2碰撞過程中損失的動(dòng)能；
（4）兩小滑塊一起運(yùn)動(dòng)過程中與BC軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)；
（5）兩小滑塊一起運(yùn)動(dòng)到半圓形軌道的C點(diǎn)時(shí)，對半圓形軌道的壓力；
（6）若半圓形軌道光滑，兩小滑塊運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)的速度大��；
（7）若半圓形軌道光滑，兩小滑塊運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)對半圓形軌道的壓力； 
（8）若半圓形軌道光滑，兩小滑塊通過半圓形軌道后落在BC軌道上的第一落點(diǎn)到C點(diǎn)的距離；
（9）若半圓形軌道不光滑，且兩小滑塊恰好能通過D點(diǎn)，求兩小滑塊通過半圓形軌道的過程中克服摩擦阻力所做的功；
（10）若半圓形軌道不光滑，兩小滑塊通過半圓形軌道D后落在BC軌道上的第一落點(diǎn)到C點(diǎn)的距離范圍．

Answer 1

分析 （1）小滑塊1從曲線軌道下滑到B的過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律求解小滑塊1與小滑塊2碰撞前瞬間的速度大小．
（2）小滑塊1與小滑塊2碰撞過程，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求解碰撞后瞬間的速度大�。�
（3）根據(jù)能量守恒定律求碰撞過程中損失的動(dòng)能；
（4）兩小滑塊一起從B到C的運(yùn)動(dòng)過程，運(yùn)用動(dòng)能定理求BC軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)；
（5）在C點(diǎn)，由合力提供向心力，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求兩滑塊對半圓形軌道的壓力；
（6）兩小滑塊一起從C運(yùn)動(dòng)到半圓形軌道C點(diǎn)的過程，由機(jī)械能守恒定律求兩小滑塊運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)的速度大��；
（7）若半圓形軌道光滑，兩小滑塊運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)由合力提供向心力，由牛頓定律求兩滑塊對半圓形軌道的壓力； 
（8）若半圓形軌道光滑，兩小滑塊通過半圓形軌道后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求落在BC軌道上的第一落點(diǎn)到C點(diǎn)的距離；
（9）若半圓形軌道不光滑，且兩小滑塊恰好能通過D點(diǎn)，由重力提供向心力，由此求得D點(diǎn)的臨界速度，再由動(dòng)能定理求兩小滑塊通過半圓形軌道的過程中克服摩擦阻力所做的功；
（10）若半圓形軌道不光滑，兩小滑塊通過半圓形軌道D后，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求落在BC軌道上的第一落點(diǎn)到C點(diǎn)的距離范圍．

解答 解：（1）小滑塊1從曲線軌道下滑到B的過程中，由機(jī)械能守恒定律得：
   m₁gh=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{0}^{2}$
可得 v₀=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.80}$=4.0m/s
（2）小滑塊1與小滑塊2碰撞過程，取向左為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得
    m₁v₀=（m₁+m₂）v₁．
可得小滑塊1與小滑塊2碰撞后瞬間的速度 v₁=3.2m/s
（3）小滑塊1與小滑塊2碰撞過程中損失的動(dòng)能△E_k=$\frac{1}{2}$m₁v₀²-$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v₁²．
代入數(shù)據(jù)解得△E_k=0.256J
（4）設(shè)兩小滑塊一起運(yùn)動(dòng)過程中與BC軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．
兩小滑塊一起從B到C的運(yùn)動(dòng)過程，運(yùn)用動(dòng)能定理得：
-μ（m₁+m₂）gL=$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v_C²-$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v₁²．
解得 μ≈0.10
（5）在C點(diǎn)，以兩滑塊整體為研究對象，由牛頓第二定律得
  N_C-（m₁+m₂）g=（m₁+m₂）$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得 N_C=20N
由牛頓第三定律知，兩小滑塊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)對半圓形軌道的壓力大小為20N，方向豎直向下．
（6）兩小滑塊一起從C運(yùn)動(dòng)到半圓形軌道C點(diǎn)的過程，由機(jī)械能守恒定律得
   2（m₁+m₂）gR+$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v_D²=$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v_C²．
解得 v_D=2.2m/s
（7）在D點(diǎn)，以兩滑塊整體為研究對象，由牛頓第二定律得
  N_D+（m₁+m₂）g=（m₁+m₂）$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
解得 N_D=8.0N
由牛頓第三定律知，兩小滑塊運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)對半圓形軌道的壓力大小為8.0N，方向豎直向上．
（8）兩小滑塊通過半圓形軌道后做平拋運(yùn)動(dòng)，則有
  2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
   x=v_Dt
聯(lián)立解得 x=0.2$\sqrt{5}$m≈0.45m
（9）若半圓形軌道不光滑，且兩小滑塊恰好能通過D點(diǎn)，在D點(diǎn)，有 （m₁+m₂）g=（m₁+m₂）$\frac{{v}_{D}^{′2}}{R}$
由動(dòng)能定理得：-2（m₁+m₂）gR-W_f=$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v_D′²-$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v_C²．
解得 W_f=0.40J
（10）若半圓形軌道不光滑，且兩小滑塊恰好能通過D點(diǎn)，則有
     x′=v_′Dt
解得 x′=0.2m
所以所求的范圍為：0.2m≤x≤0.45m．
答：
（1）小滑塊1與小滑塊2碰撞前瞬間的速度大小為4.0m/s．
（2）小滑塊1與小滑塊2碰撞后瞬間的速度大小是3.2m/s．
（3）小滑塊1與小滑塊2碰撞過程中損失的動(dòng)能是0.256J．
（4）兩小滑塊一起運(yùn)動(dòng)過程中與BC軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)是0.10．
（5）兩小滑塊一起運(yùn)動(dòng)到半圓形軌道的C點(diǎn)時(shí)，對半圓形軌道的壓力是20N．
（6）兩小滑塊運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)的速度大小是2.2m/s．
（7）兩小滑塊運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)對半圓形軌道的壓力是8.0N．
（8）兩小滑塊通過半圓形軌道后落在BC軌道上的第一落點(diǎn)到C點(diǎn)的距離是0.45m．
（9）兩小滑塊通過半圓形軌道的過程中克服摩擦阻力所做的功是0.40J．
（10）距離范圍為0.2m≤x≤0.45m．

點(diǎn)評 本題是機(jī)械能定律、動(dòng)能定理、牛頓第二定律和平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵要把握滑塊到達(dá)D點(diǎn)的臨界條件：重力等于向心力．