Question

（2013?閔行區(qū)一模）有一絕緣的、半徑為R的光滑圓軌道固定在豎直平面內(nèi)，在其圓心處固定一帶正電的點(diǎn)電荷，現(xiàn)有一質(zhì)量為m，也帶正電（其電量遠(yuǎn)小于圓心處的電荷，對(duì)圓心處電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)影響很小，可忽略）的小球A，圓心處電荷對(duì)小球A的庫(kù)侖力大小為F．開始小球A處在圓軌道內(nèi)側(cè)的最低處，如圖所示．現(xiàn)給小球A一個(gè)足夠大的水平初速度，小球A能在豎直圓軌道里做完整的圓周運(yùn)動(dòng)．
（1）小球A運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)其速度最小？為什么？
（2）要使小球A在運(yùn)動(dòng)中始終不脫離圓軌道而做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，小球A在圓軌道的最低處的初速度應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）圓周是圓心處點(diǎn)電荷的等勢(shì)面，小球圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有重力做功，根據(jù)動(dòng)能定理作答；
（2）小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中分F≥mg和F＜mg兩種情況討論，得出小球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件，再根據(jù)動(dòng)能定理作答．

解答：解：運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)時(shí)速度最小
在圓心處電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)中，圓軌道恰好在它的一個(gè)等勢(shì)面上，小球在圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，庫(kù)侖力不做功，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到圓軌道最高處時(shí)，其重力對(duì)它做的負(fù)功最多，此時(shí)速度最�。�
在最低點(diǎn)，小球受到的電場(chǎng)力F與重力mg方向相同，小球不會(huì)脫離軌道．
在最高點(diǎn)，小球受到的電場(chǎng)力F與重力mg方向相反，
當(dāng)F≥mg時(shí)，在最高點(diǎn)小球也不會(huì)脫離軌道．此時(shí)，小球在最高點(diǎn)的速度v應(yīng)滿足：v≥0        ①
小球從圓軌道最底處運(yùn)動(dòng)到最高處的過(guò)程中由動(dòng)能定理得：
-mg×2R=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

             ②
由①和②解得：v0≥2

gR

                     
這就是在F≥mg條件下，小球在最低點(diǎn)速度應(yīng)滿足的條件在最高點(diǎn)．當(dāng)F＜mg時(shí)，小球在最高點(diǎn)的速度v 應(yīng)滿足：
mg-F+FN=m

v2

R

          ③
F_N為軌道對(duì)小球向向下的壓力，根據(jù)意知F_N≥0       ④
由②③④可解得：v0≥

5gR- FR m

 這就是在F＜mg條件下，小球在最低點(diǎn)速度應(yīng)滿足的條件．
答：（1）小球A運(yùn)動(dòng)到最高處時(shí)其速度最小，因?yàn)樾∏驁A周運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有重力做功，根據(jù)動(dòng)能定理有克服重力做功最多時(shí)，小球動(dòng)能最小即速度最�。�
（2）要使小球A在運(yùn)動(dòng)中始終不脫離圓軌道而做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，小球A在圓軌道的最低處的初速度應(yīng)滿足：v0≥2

gR

（F≥mg），v0≥

5gR- FR m

（F＜mg）．

點(diǎn)評(píng)：抓住小球在豎直面你做圓周運(yùn)動(dòng)能通過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件是解決本題的關(guān)鍵．