Question

（2010?山東）如圖所示，以兩虛線為邊界，中間存在平行紙面且與邊界垂直的水平電場，寬度為d，兩側為相同的勻強磁場，方向垂直紙面向里．一質量為m、帶電量+q、重力不計的帶電粒子，以初速度v₁垂直邊界射入磁場做勻速圓周運動，后進入電場做勻加速運動，然后第二次進入磁場中運動，此后粒子在電場和磁場中交替運動．已知粒子第二次在磁場中運動的半徑是第一次的二倍，第三次是第一次的三倍，以此類推．求
（1）粒子第一次經過電場的過程中電場力所做的功W₁．
（2）粒子第n次經過電場時電場強度的大小E_n．
（3）粒子第n次經過電場所用的時間t_n．
（4）假設粒子在磁場中運動時，電場區(qū)域場強為零．請畫出從粒子第一次射入磁場至第三次離開電場的過程中，電場強度隨時間變化的關系圖線（不要求寫出推導過程，不要求標明坐標刻度值）．

Answer 1

分析：（1）根據牛頓第二定律求出粒子第n次進入磁場時的半徑R_n與速度的關系式，由題給條件研究粒子第2次進入磁場時的速度，即粒子第一次經過電場的過程的末速度，根據動能定理求解粒子第一次經過電場的過程中電場力所做的功W₁．
（2）根據第（1）問的結果可知粒子第n+1次進入磁場時和第n次進入磁場時的速度，即第n次進入電場時和穿出電場時的速度，根據動能定理求出粒子第n次經過電場時電場強度的大小E_n．
（3）根據牛頓第二定律求出粒子第n次經過電場時的加速度，由（2）結論，由速度公式求出粒子第n次經過電場所用的時間t_n．
（4）根據E_n的表達式，分別求出粒子前三次經過電場時的電場強度，再作圖．

解答：解：（1）設粒子第n次進入磁場時的半徑為R_n，速度為v_n，
      由牛頓第二定律得
          qvnB=m

v 2 n

Rn

…①
       由①式得   vn=

qBRn

m

…②
       因為R₂=2R₁，
       所以V₂=2v₁…③
      對粒子第一次在電場中運動的過程，
      由動能定理得W1=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

…④
      聯立③④式得W1=

3m v 2 1

2

…⑤
    （2）粒子第n次進入電場時速度為v_n，穿出電場時速度為v_n+1，
        由題意知  V_n=nv₁，v_n+1=（n+1）v₁    …⑥
        由動能定理得
        qEnd=

1

2

m

v

2 n+1

-

1

2

m

v

2 n

…⑦
      聯立⑥⑦式得
        En=

(2n+1)m v 2 1

2qd

…⑧
     （3）設粒子第n次在電場中運動的加速度為a_n，
      由牛頓第二定律得qE_n=ma_n…⑨
      由運動學公式得v_n+1-v_n=a_nt_n…⑩
      聯立⑥⑦⑧⑨⑩式得
     tn=

2d

(2n+1)v1

     （4）

點評：本題關鍵是充分應用題給條件研究粒子第n次進入電場時的速度，穿出電場時速度．動能定理是功常用的方法．