Question

（2012?昌平區(qū)二模）1932年，勞倫斯和利文斯設計出了回旋加速器．回旋加速器的工作原理如圖（甲）所示，置于高真空中的D形金屬盒半徑為R，兩盒間的狹縫很小，帶電粒子穿過的時間可以忽略不計．磁感應強度為B的勻強磁場與盒面垂直．A處粒子源產(chǎn)生的粒子，質量為m、電荷量為+q，初速度為0，在加速器中被加速，加速電壓為U．加速過程中不考慮相對論效應和重力作用．
（1）求粒子第1次和第2次經(jīng)過兩D形盒間狹縫后軌道半徑之比；
（2）求粒子從靜止開始加速到出口處所需的時間t和粒子獲得的最大動能E_km；

（3）近年來，大中型粒子加速器往往采用多種加速器的串接組合．例如由直線加速器做為預加速器，獲得中間能量，再注入回旋加速器獲得最終能量．n個長度逐個增大的金屬圓筒和一個靶，它們沿軸線排列成一串，如圖（乙）所示（圖中只畫出了六個圓筒，作為示意）．各筒相間地連接到頻率為f、最大電壓值為U的正弦交流電源的兩端．整個裝置放在高真空容器中．圓筒的兩底面中心開有小孔．現(xiàn)有一電量為q、質量為m的正離子沿軸線射入圓筒，并將在圓筒間的縫隙處受到電場力的作用而加速（設圓筒內(nèi)部沒有電場）．縫隙的寬度很小，離子穿過縫隙的時間可以不計．已知離子進入第一個圓筒左端的速度為v₁，且此時第一、二兩個圓筒間的電勢差U₁-U₂=-U．為使打到靶上的離子獲得最大能量，各個圓筒的長度應滿足什么條件？并求出在這種情況下打到靶上的離子的能量．

Answer 1

分析：（1）由動能定理可以求出粒子在電場中加速而獲得的速度，由牛頓第二定律可以求出粒子在磁場中做圓周運動的軌道半徑．
（2）求出粒子加速的次數(shù)，然后求出粒子獲得的最大動能；求出粒子做圓周運動的周期，然后求出粒子總的運動時間．
（3）由動能定理可以求出筒的長度與粒子獲得的動能．

解答：解：（1）設粒子第1次經(jīng)過狹縫后的半徑為r₁，速度為v₁，
粒子在電場中加速，由動能定理得：qU=

1

2

mv₁²，
粒子在磁場中做勻速圓周運動，由牛頓第二定律得：qv₁B=m

v 2 1

r1

，
解得：r1=

1

B

2mU q

；
同理可得，粒子第2次經(jīng)過狹縫后的半徑r2=

1

B

2m?2U q

則r₁：r₂=1：

2

；
（2）粒子在磁場中運動一個周期，被電場加速兩次．
設粒子到出口處被加速了n次，由動能定理得：nqU=

1

2

m

v

2 m

，
由牛頓第二定律得：qv_mB=m

v 2 m

R

，解答：v_m=

qBR

m

，n=

qB2R2

2mU

，
帶電粒子在磁場中運動的周期為T=

2πm

qB

，
粒子在磁場中運動的總時間t=

n

2

T=

πBR2

2U

，
所以，粒子獲得的最大動能E_km=

1

2

m

v

2 m

=

q2B2R2

2m

；
（3）為使正離子獲得最大能量，要求離子每次穿越縫隙時，前一個圓筒的電勢比后一個圓筒的電勢高U，
這就要求離子穿過每個圓筒的時間都恰好等于交流電的半個周期．由于圓筒內(nèi)無電場，離子在筒內(nèi)做勻速運動．
設v_n為離子在第n個圓筒內(nèi)的速度，第n個圓筒的長度為Ln=vn?

T

2

=

vn

2f

，

1

2

m

v

2 n

-

1

2

m

v

2 1

=(n-1)qU，
解得：vn=

2(n-1)qU m + v 2 1

，第n個圓筒的長度應滿足條件Ln=

1

2f

2(n-1)qU m + v 2 1

（n=1，2，3，…），
打到靶上的離子的能量為

E

kn

=(n-1)qU+

1

2

m

v

2 1

（n=1，2，3，…）；
答：（1）粒子第1次和第2次經(jīng)過兩D形盒間狹縫后軌道半徑之比為1：

2

．
（2）粒子從靜止開始加速到出口處所需的時間t=

πBR2

2U

，粒子獲得的最大動能E_km=

q2B2R2

2m

；
（3）為使獲得最大能量，各個圓筒的長度應滿足條件是：Ln=

1

2f

2(n-1)qU m + v 2 1

（n=1，2，3，…），
在這種情況下打到靶上的離子的能量為

E

kn

=(n-1)qU+

1

2

m

v

2 1

（n=1，2，3，…）．

點評：回旋加速器中的電場起加速作用，磁場起偏轉作用；電場的周期應與粒子做圓周運動的周期相等．