Question

【題目】利用電磁場可以控制帶電粒子的速度大小與方向。在圖示坐標系的第Ⅱ象限，存在一個圓心為坐標原點的圓環(huán)狀的均勻輻向電場，圓環(huán)在y軸上的截面長度為R，電場中各點電勢為，式中k為正的已知常量，r為該點到圓心O的距離。在y軸右側(cè)，圓心為（R，0）、半徑為R的虛線圓內(nèi)分布著方向垂直于圓面的勻強磁場，在處有一豎直放置的足夠長的探測屏。今在圓弧的點放置一個離子源，能不斷釋放質(zhì)量為m、電荷量為的帶電離子。當磁場的磁感應(yīng)強度大小為時，這些經(jīng)電場加速的離子剛好能從磁場區(qū)域最高點射出。忽略離子初速度，不計離子重力及相互作用力，不考慮空氣阻力。

(1)求離子在磁場中的速率v；

(2)若磁場的磁感應(yīng)強度大小可調(diào)，求離子打在屏上的縱坐標y與磁感應(yīng)強度大小B、原磁感應(yīng)強度大小的關(guān)系式；

(3)若將離子源沿環(huán)形電場外邊界緩慢移動，使所有離子均沿豎直方向射出磁場，求磁場區(qū)域的最小面積，畫出磁場形狀并標明磁感應(yīng)強度的大小與方向。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】

(1)扇形電場的電勢差為

離子在加速電場中根據(jù)動能定理有

聯(lián)立解得速率

(2)改變磁場磁感應(yīng)強度，離子運動軌跡如下圖所示

則離子打在屏上的縱坐標

二倍角公式

兩半徑滿足

其中

聯(lián)立解得

(3)兩種可能情形：一是射出磁場的離子均沿整直向下（）方向，所需磁場區(qū)域的最小面積為

磁場形狀及磁感應(yīng)強度的大小與方向如下圖所示

二是射出磁場中的離子均沿豎直向上（）方向，所需磁場區(qū)域的最小面積為

磁場形狀及磁感應(yīng)強度的大小與方向如下圖所示