Question

1．如圖所示，長為L的輕桿下端用鉸鏈固定在光滑的水平面上的C點，上端有一個質(zhì)量為m的光滑小球A（視為質(zhì)點），小球旁輕靠有一正方體滑塊B．若用一大小為mg的水平恒力（g為重力加速度大�。┫蛴易饔糜谛∏駻，當(dāng)桿與水平面成θ=30°角時A、B恰好分離，求：（提示：在圓周運(yùn)動過程中任一點，質(zhì)點所受的向心力與其速率的關(guān)系為F_向=m$\frac{{v}^{2}}{L}$）
（1）A、B分離瞬間球A的速度大�。�
（2）滑塊B的質(zhì)量M；
（3）球A剛要觸地時球?qū)�桿的作用力F大小和方向．

Answer 1

分析 （1）（2）以A、B系統(tǒng)為研究對象，由動能定理可以求出A的速度大小．A、B分離時B的加速度為零，由平衡條件求出此時桿的作用力，A做圓周運(yùn)動，應(yīng)用牛頓第二定律求出B的質(zhì)量．
（3）從A、B分離到A落地過程，應(yīng)用動能定理與牛頓第二定律可以求出桿的作用力．

解答 解：（1）如圖1所示，設(shè)桿與水平面夾θ角時A與B的速度大小分別為υ₁、υ₂，有：υ₂=υ₁sinθ                    
在桿下擺過程中，對輕桿、球與滑塊組成的系統(tǒng)，由動能定理得：mgLcosθ+mg（L-Lsinθ）=$\frac{1}{2}$mυ₁²+$\frac{1}{2}$Mυ₂²-0，
分離時A、B不僅有相同的水平速度，而且分離前瞬間A、B在水平方向的加速度也始終相同，
而分離后B的加速度必為零，分離時兩者的水平加速度必為零．
由圖2，根據(jù)平衡條件得：Tcosθ=mg，
沿桿方向的合力提供向心力，由牛頓第二定律得：（Tsinθ+mg）sinθ=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{L}$，
解得：υ₁=$\sqrt{\frac{（3+\sqrt{3}）gL}{6}}$，M=$\frac{8（3+5\sqrt{3}）}{6+\sqrt{3}}$m；
（2）由（1）可知，M=$\frac{8（3+5\sqrt{3}）}{6+\sqrt{3}}$m；
（3）球A剛要觸地時的速度設(shè)為υ_A，
從A、B分離到A落地過程中，由動能定理得：
mg（L-Lcosθ）+mgLsinθ=$\frac{1}{2}$mυ_A²-$\frac{1}{2}$mυ₁²，
由牛頓第二定律得：F′-F=m$\frac{{{v}_{A}}^{2}}{L}$，
解得：F′=$\frac{27-5\sqrt{3}}{6}$mg，方向水平向左，
根據(jù)牛頓第三定律得F=F′=$\frac{27-5\sqrt{3}}{6}$mg，方向水平向右．
答：
（1）A、B分離瞬間球A的速度大小為$\sqrt{\frac{（3+\sqrt{3}）gL}{6}}$；
（2）滑塊B的質(zhì)量M為$\frac{8（3+5\sqrt{3}）}{6+\sqrt{3}}$m；
（3）球A剛要觸地時球?qū)�桿的作用力F大小為：=$\frac{27-5\sqrt{3}}{6}$mg，方向：水平向右．

點評 本題是一道力學(xué)綜合題，難度較大，分析清楚物體的運(yùn)動過程，應(yīng)用動能定理、運(yùn)動的合成與分解、牛頓第二定律即可正確解題．