Question

19．如圖所示的直角坐標(biāo)系中，在直線x=-2a到y(tǒng)軸區(qū)域內(nèi)存在著兩個(gè)大小相等、方向相反的有界勻強(qiáng)電場(chǎng)，其中x軸上方的電場(chǎng)方向沿y軸正方向，x軸下方的電場(chǎng)方向沿y軸負(fù)方向．一群電荷量為-q、質(zhì)量為m的粒子被加速電壓U₀加速后，從電場(chǎng)左邊界上A（-2a，a）到C（-2a，0）區(qū)域內(nèi)，依次連續(xù)沿x軸正方向射入有界勻強(qiáng)電場(chǎng)．從A點(diǎn)射入的粒子，恰好從y軸上的A′（0，-a）沿x軸正方向射出有界勻強(qiáng)電場(chǎng)，其軌跡如圖所示．不計(jì)粒子的重力及它們間的相互作用
（1）求勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大�。�
（2）粒子在AC間的位置坐標(biāo)y為何值時(shí)，粒子通過(guò)電場(chǎng)后速度沿x軸正方向？
（3）若以直線x=2a上的某點(diǎn)為圓心的圓形區(qū)域內(nèi)，存在垂直xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使沿x軸正方向射出電場(chǎng)的粒子，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，都能通過(guò)直線x=2a與圓形磁場(chǎng)邊界的一個(gè)交點(diǎn)處而被收集，求圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積S_min及相應(yīng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求加速后粒子的速度．粒子進(jìn)入上方的勻強(qiáng)電場(chǎng)中做的是類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向上是勻速運(yùn)動(dòng)，由勻速運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可以求得粒子的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
豎直方向作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)位移公式和對(duì)稱性列式求解．
（2）粒子通過(guò)電場(chǎng)后速度沿x軸正方向必須滿足：2a=n•2△x，△x是粒子第一次到達(dá)x軸時(shí)水平位移，再結(jié)合類平拋運(yùn)動(dòng)的分位移規(guī)律求解．
（3）根據(jù)上題的結(jié)論討論分析粒子沿x軸正方向射出的坐標(biāo)，由幾何知識(shí)分析和求解圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積S_min．根據(jù)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可以求得磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�

解答 解：（1）設(shè)粒子加速后速度大小為v₀，據(jù)動(dòng)能定理有 qU₀=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
設(shè)粒子由A運(yùn)動(dòng)到A′的時(shí)間為t，據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和對(duì)稱性得：
x方向有 2a=v₀t
y方向有 2a=2×$\frac{1}{2}•$$\frac{qE}{m}（\frac{t}{2}）^{2}$
解得 E=$\frac{4{U}_{0}}{a}$
（2）設(shè)滿足條件的粒子到C點(diǎn)的距離為△y，粒子第一次到達(dá)x軸的時(shí)間為△t，水平位移為△x，則有
△x=v₀△t
△y=$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}（△t）^{2}$
當(dāng)滿足 2a=n•2△x時(shí)，粒子從電場(chǎng)射出時(shí)速度方向必沿x軸正方向
解得△y=$\frac{1}{{n}^{2}}$•$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}•（\frac{a}{{v}_{0}}）^{2}$=$\frac{a}{{n}^{2}}$
則 y=$\frac{a}{{n}^{2}}$（n=1，2，3，…）
（3）如圖所示，當(dāng)n=1時(shí)，粒子沿x軸正方向射出的坐標(biāo)為 y₁=-a．
當(dāng)n=2時(shí)，粒子沿x軸正方向射出的坐標(biāo)為 y₂=$\frac{a}{4}$．
當(dāng)n≥3時(shí)，沿x軸正方向射出的粒子必分布在y₁到y(tǒng)₂之間，y₁到y(tǒng)₂之間的距離 L=y₂-y₁=$\frac{5}{4}$a
故磁場(chǎng)的最小半徑 R_min=$\frac{L}{2}$=$\frac{5}{8}$a
磁場(chǎng)的最小面積為 S_min=$π{R}_{min}^{2}$=$\frac{25π{a}^{2}}{64}$
如圖所示，欲使粒子磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后匯聚于一點(diǎn)，粒子運(yùn)動(dòng)半徑與磁場(chǎng)圓半徑應(yīng)相等，圖中軌跡圓與磁場(chǎng)圓相交，四邊形PO₁QO₂為菱形．
據(jù)洛倫茲力提供向心力，有qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得 B=$\frac{8}{5a}\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$
答：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為$\frac{4{U}_{0}}{a}$．
（2）粒子在AC間的位置坐標(biāo)y=$\frac{a}{{n}^{2}}$（n=1，2，3，…）時(shí)，粒子通過(guò)電場(chǎng)后速度沿x軸正方向．
（3）形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積S_min是$\frac{25π{a}^{2}}{64}$，相應(yīng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{8}{5a}\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要掌握住半徑公式、周期公式，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了．