Question

11．如圖所示，在xoy平面x軸上方的等腰直角三角形OCD內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強磁場區(qū)域I，直角邊長為a，在x軸下方有限范圍內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強磁場區(qū)域Ⅱ，區(qū)域Ⅱ的磁場沿x方向足夠?qū)拸V，y軸方向在$\frac{a}{2}$≤y≤0內(nèi)，現(xiàn)有一質(zhì)量為m，電荷量為q（q＞0）的粒子以初速度V₀從O點沿OC方向射入?yún)^(qū)域I，由P點進入?yún)^(qū)域Ⅱ，往偏轉(zhuǎn)后打在x軸上的Q點，P點的坐標為（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0）Q點的坐標為（$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$a，0），粒子的重力不計，求：
（1）磁場區(qū)域I，Ⅱ的磁感應強度B₁，B₂
（2）若有一系列初速度大小不同的粒子束從O點沿OC方向射入?yún)^(qū)域I，再射入磁場區(qū)域Ⅱ，求從磁場區(qū)域Ⅱ射出的粒子在下邊界的分布范圍．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，根據(jù)運動軌跡，由幾何關系求出軌跡半徑，即可根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式，求出磁感應強度．
（2）當粒子進入?yún)^(qū)域Ⅱ和下邊相切時粒子的速度最小，由幾何關系求出軌跡半徑，得到相切點的坐標．當粒子和區(qū)域I右邊界相切進入磁場區(qū)域Ⅱ時速度最大，得到粒子Ⅱ區(qū)域圓心坐標和半徑，寫出圓方程，即可求得Ⅱ區(qū)域圓弧和下邊界交點坐標．

解答 解：（1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，設在Ⅰ區(qū)域圓弧半徑為r₁，Ⅱ區(qū)域圓弧半徑為r₂，由幾何關系得：
r₁=$\frac{a}{2}$，r₂=a
由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
得：B=$\frac{mv}{qr}$
則得：B₁=$\frac{2m{v}_{0}}{aq}$，B₂=$\frac{m{v}_{0}}{aq}$
（2）當粒子進入Ⅱ區(qū)域和下邊相切時粒子的速度最小，由幾何關系得：
  r₂-$\frac{a}{2}$=r₂cos45°，
得：r₂=$\frac{a}{2-\sqrt{2}}$
由上題知：r₁=$\frac{1}{2}$r₂=$\frac{a}{2（2-\sqrt{2}）}$
則相切點坐標為：x₁=$\sqrt{2}$r₁+r₂cos45°=（$\sqrt{2}$+1）a
當粒子和I區(qū)域右邊界相切進入磁場區(qū)域Ⅱ時速度最大，粒子Ⅱ區(qū)域圓心坐標為（2$\sqrt{2}$a，$\sqrt{2}$a）
半徑：r₂=2a，則Ⅱ區(qū)域圓方程為：（x-2$\sqrt{2}$a）²+（y-$\sqrt{2}$a）²=4a²；
用y=-$\frac{a}{2}$代入得Ⅱ區(qū)域圓弧和下邊界交點坐標為：
x₂=a（$\sqrt{4-（\frac{1}{2}+\sqrt{2}）^{2}}$+2$\sqrt{2}$）
故從磁場區(qū)域Ⅱ射出的粒子在下邊界的分布范圍在：（$\sqrt{2}$+1）a≤x≤a（$\sqrt{4-（\frac{1}{2}+\sqrt{2}）^{2}}$+2$\sqrt{2}$）．
答：（1）磁場區(qū)域I，Ⅱ的磁感應強度B₁，B₂分別為$\frac{2m{v}_{0}}{aq}$和$\frac{m{v}_{0}}{aq}$．
（2）從磁場區(qū)域Ⅱ射出的粒子在下邊界的分布范圍在（$\sqrt{2}$+1）a≤x≤a（$\sqrt{4-（\frac{1}{2}+\sqrt{2}）^{2}}$+2$\sqrt{2}$）．

點評 解決本題要抓住軌跡對應的圓心角是90°，由幾何知識求軌跡半徑和相關范圍．也可以作出粒子的運動軌跡直觀進行分析．