Question

如圖所示，在第一象限內(nèi)，0＜x≤a的區(qū)域中有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，x＞a的區(qū)域中有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，兩區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小均為B．在原點(diǎn)O處有一小孔，一束質(zhì)量為m、電荷量為q帶正電的粒子，沿著x軸方向經(jīng)小孔射入磁場，最后穿過x軸或y軸離開磁場．已知入射粒子的速率在零到某一最大值之間，速率最大的粒子在0＜x≤a區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

πm

3Bq

，它離開磁場時(shí)運(yùn)動(dòng)方向與x軸垂直，不計(jì)粒子重力，求：
（1）y軸上粒子射出點(diǎn)到原點(diǎn)O的最大距離
（2）速率最大的粒子離開磁場時(shí)的x軸坐標(biāo)
（3）所有粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間范圍．

Answer 1

（1）打到y(tǒng)軸上的粒子均沿半個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)，離O最遠(yuǎn)的粒子軌跡剛好與兩磁場交界線相切（如圖軌跡①）
則y_max=2a
（2）速度最大的粒子在0＜x≤a中運(yùn)動(dòng)時(shí)間

πm

3Bq

=

T

6

其對(duì)應(yīng)的圓心角為60°，所以R=

a

sin60°

=

2 3

3

a
通過x＞a的區(qū)域后，離開磁場時(shí)與x軸垂直，說明圓心在x軸上（如圖軌跡②）
由幾何關(guān)系可知，對(duì)應(yīng)的圓心角為150°
x=R+2Rsin60°=2a+

2 3

3

a
（3）穿過y軸的所有粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間均為t₁=

T

2

=

πm

Bq

穿過x軸的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間在如圖軌跡②與軌跡③之間，
按軌跡②的運(yùn)動(dòng)，時(shí)間t₂′=

7T

12

=

7πm

6Bq

按軌跡③的運(yùn)動(dòng)，時(shí)間t₂″=T=

2πm

Bq

所以運(yùn)動(dòng)時(shí)間范圍是t₁=

πm

Bq

和t₂∈（

7πm

6Bq

，

2πm

Bq

）
答：（1）y軸上粒子射出點(diǎn)到原點(diǎn)O的最大距離為2a；
（2）速率最大的粒子離開磁場時(shí)的x軸坐標(biāo)為2a+

2 3

3

a；
（3）所有粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間范圍為t₁=

πm

Bq

和t₂∈（

7πm

6Bq

，

2πm

Bq

）．