Question

15．如圖所示，在豎直面內邊界線OA的兩側存在方向相反的勻強電場，磁感應強度大小相同．已知OA與豎直線OC夾角為60°，B點為∠COA平分線上的點且OA=$\sqrt{3}$L，OB=L．一帶正電的粒子質量為m，電量為q，從O點沿OC以初速度v₀射入磁場，粒子恰好經過邊界上的A點．撤去磁場加上與OAB在同一豎直面內的勻強電場，粒子仍以速度v₀從O點沿OC射入時，粒子經過B點；若速度大小不變，改變粒子從O點射入的方向，粒子在電場中經過A點，且速度大小為$\sqrt{10}$v₀，已知粒子從O到A動能的增加量是離子從O到B動能增加量的3倍．求：
（1）磁場強度B的可能值；
（2）O、A兩點間的電勢差；
（3）勻強電場場強的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）粒子在方向相反的磁場中做順、逆時針方向的勻速圓周運動，由幾何關系若旋轉整數次，恰能通過A點，由幾何關系找出OA=n 2Rsin60°，從而由洛侖茲力提供向心力就能求出磁感應強度的可能值．
（2）由動能定理及題設條件的末速度就能求出OA兩點的電勢差．
（3）由題設條件及動能定理，當入射方向改變時，從而始末兩點OB電勢差，再由電勢差與電場強度關系，從而求出勻強電場的大�。�

解答 解：（1）帶電粒子在下半部磁場中做一次勻速圓周運動軌跡如圖所示，
每偏轉一次沿OA方向移動2Rsin60°，若經過n次恰通過A點，由幾何關系可知：
    n（2Rsin60°）=$\sqrt{3}L$
 由洛倫茲力提供向心力：$q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
解得：B=$\frac{nm{v}_{0}}{qL}$  （n=1、2、3…）
（2）根據動能定理：qU_OA=$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
解得：U_OA=$\frac{9m{{v}_{0}}^{2}}{2q}$
（3）根據動能定理：qU_OB=$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
因$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$=3×（$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$）
故U_OA=3U_OB
根據勻強電場場強與電勢的關系可知，將OA分為相等的3段，若OD=$\frac{1}{3}OA$=$\frac{\sqrt{3}}{3}L$，則D、B等電勢
由余弦定理可知DB=OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}L$
故等勢面DB∥OC，故場強方向水平向右
U_OA=E×$\sqrt{3}Lsin60°$
解得：E=$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{qL}$
答：（1）磁場強度B的可能值為$\frac{nm{v}_{0}}{qL}$（n=1、2、3…）．
（2）O、A兩點間的電勢差是$\frac{9m{{v}_{0}}^{2}}{2q}$．
（3）勻強電場場強的大小為$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{qL}$，方向水平向右．

點評 本題的難點在第三問，變化之處有兩點：先是將勻強磁場改為勻強電場，這樣粒子通過A點的合位移為$\sqrt{3}L$，后是又改變了粒子的入射方向，同樣已知粒子的合位移大小為L，由此可知末速度的關系，由動能定理及電勢差與場強關系就能求出電場強度大小和方向．