Question

14．某興趣小組設(shè)計(jì)了一種實(shí)驗(yàn)裝置，其模型如圖所示．中間部分為水平直軌道，左側(cè)部分為傾斜軌道，與直軌道相切于A點(diǎn)，右側(cè)部分為位于豎直平面內(nèi)半徑為R的半圓軌道，在最低點(diǎn)與直軌道相切于B點(diǎn)．實(shí)驗(yàn)時(shí)將質(zhì)量為m的小球1在左側(cè)傾斜軌道上某處?kù)o止釋放，使其與靜止在水平軌道上某處質(zhì)量也為m的小球2發(fā)生無(wú)機(jī)械能損失的碰撞，碰后小球1停下，小球2向右運(yùn)動(dòng)，恰好能通過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)，且落地時(shí)又恰好與小球1發(fā)生再次碰撞．不計(jì)空氣阻力，軌道各處均光滑，小球可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度為g．
（1）求小球2第一次與小球1碰撞后的速度大小；
（2）開始時(shí)小球2應(yīng)放于水平直軌道上何處位置？
（3）開始時(shí)小球1應(yīng)距水平直軌道多高位置處釋放？

Answer 1

分析 （1）小球2向右運(yùn)動(dòng)，恰好能通過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)由重力提供向心力，可求得球2通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度，由機(jī)械能守恒求解小球2第一次與小球1碰撞后的速度大小．
（2）球2離開軌道后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出其水平位移，即可求解．
（3）由于兩球無(wú)機(jī)械能損失，可得到碰前球1的速度，對(duì)球1運(yùn)用機(jī)械能守恒定律求解．

解答 解：（1）小球2恰好能通過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)，則有 mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$ ①
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
  $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+2mgR   ②
由①②可得 v₀=$\sqrt{5gR}$ ③
（2）球2離開軌道后做平拋運(yùn)動(dòng)，其水平位移為x，則有
  x=vt  ④
  2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$  ⑤
由①④⑤解得：x=2R
所以開始時(shí)小球2應(yīng)放于水平直軌道上距B點(diǎn)2R處．
（3）由于兩球無(wú)機(jī)械能損失，可得到碰前球1的速度大小為v₀=$\sqrt{5gR}$ ⑥
對(duì)于球1，有：mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$  ⑦
解得 h=2.5R
答：
（1）小球2第一次與小球1碰撞后的速度大小為$\sqrt{5gR}$；
（2）開始時(shí)小球2應(yīng)放于水平直軌道上距B點(diǎn)2R處．
（3）開始時(shí)小球1應(yīng)距水平直軌道2.5R高位置處釋放．

點(diǎn)評(píng) 本題是向心力、機(jī)械能守恒和平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，掌握小球通過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件是解題的關(guān)鍵．