Question

（2009?潮州三模）設(shè)雨點(diǎn)下落過程受到的空氣阻力與雨點(diǎn)的橫截面積S成正比，與雨點(diǎn)下落的速度v的平方成正比，即f=kSv²（其中k為比例系數(shù)）．雨點(diǎn)接近地面時近似看做勻速直線運(yùn)動，重力加速度為g．若把雨點(diǎn)看做球形，其半徑為r，球的體積為

4

3

πr³，設(shè)雨點(diǎn)的密度為ρ，求：（1）每個雨點(diǎn)最終的運(yùn)動速度v_m（用ρ、r、g、k表示）；（2）雨點(diǎn)的速度達(dá)到

1

2

v_m時，雨點(diǎn)的加速度a為多大（用g表示）？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件和題意中有關(guān)摩擦力的關(guān)系式列式求解；
（2）先根據(jù)題意求出速度達(dá)到

1

2

v_m時的空氣阻力，然后根據(jù)牛頓第二定律求解加速度．

解答：解：（1）當(dāng)f=mg時，雨點(diǎn)達(dá)到最終速度v_m，則
kS

v

2 m

=mg
故
kS

v

2 m

=ρ

4

3

πr3g
解得
vm=

4ρrg 3k

           
即每個雨點(diǎn)最終的運(yùn)動速度

4ρrg 3k

．                                  
（2）由牛頓第二定律得：mg-f=ma
則
mg-kS(

vm

2

)2=ma
解得
mg-

kS v 2 m

4

=ma
故a=

3

4

g
即雨點(diǎn)的速度達(dá)到

1

2

v_m時，雨點(diǎn)的加速度a為

3

4

g．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵是根據(jù)阻力表達(dá)式和共點(diǎn)力平衡條件或牛頓第二定律列式求解．