Question

4．如圖所示，在水平軌道右側(cè)安放半徑為R=0.2m的豎直圓形光滑軌道，水平軌道的PQ段鋪設(shè)特殊材料，調(diào)節(jié)其初始長度為L=1m，水平軌道左側(cè)有一輕質(zhì)彈簧左端固定，彈簧處于自然狀態(tài)．質(zhì)量為m=1kg的小物塊A（可視為質(zhì)點）從軌道右側(cè)以初速度v₀=2$\sqrt{3}$ m/s沖上軌道，通過圓形軌道、水平軌道后壓縮彈簧并被彈簧以原速率彈回，經(jīng)水平軌道返回圓形軌道．物塊A與PQ段間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，軌道其他部分摩擦不計，重力加速度g=10m/s²．求：

（1）物塊A與彈簧剛接觸時的速度大小v₁；
（2）物塊A被彈簧以原速率彈回返回到圓形軌道的高度h₁；
（3）調(diào)節(jié)PQ段的長度L，A仍以v₀從軌道右側(cè)沖上軌道，當L滿足什么條件時，物塊A能第一次返回圓形軌道且能沿軌道運動而不脫離軌道．

Answer 1

分析 （1）物塊A從Q到P過程中，運用動能定理，結(jié)合摩擦力做功，從而求出物塊A與彈簧剛接觸時的速度大�。�
（2）根據(jù)運動學公式求得回到圓軌道的速度大小，再根據(jù)動能定理求出A能夠上升的高度，并討論能否達到此高度．
（3）A物塊能返回圓形軌道且能沿軌道運動而不會脫離軌道，要么能夠越過圓軌道的最高點，要么在圓軌道中上升的高度不要超過圓軌道的半徑，結(jié)合動能定理、動量守恒定律和牛頓第二定律求出l所滿足的條件．

解答 解：（1）設(shè)物塊A與彈簧剛接觸時的速度大小為v₁，物塊從開始運動到P的過程，由動能定理，可得：
-μmgL=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₂²；
代入數(shù)據(jù)解得：v₁=2$\sqrt{2}$ m/s…①
（2）物塊A被彈簧以原速率彈回返回到圓形軌道的高度為h₁，由動能定理得：
-μmgL-mgh₁=0-$\frac{1}{2}$mv₁²
代入數(shù)據(jù)解得：h₁=0.2m=R，符合實際…②
（3）①若A沿軌道上滑至最大高度h₂時，速度減為0，則h₂滿足：
  0＜h₂≤R…③
由動能定理得：-2μmgL₁-mgh₂=0-$\frac{1}{2}$mv₀²…④
聯(lián)立③④得：1m≤L₁＜1.5 m②若A能沿軌道上滑至最高點，則滿足：
 m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$≥mg…⑤
由動能定理得：
-2μmgL₂-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₀²…⑥
聯(lián)立⑤⑥得：L₂≤0.25 m
綜上所述，要使物塊A能第一次返回圓形軌道并沿軌道運動而不脫離軌道，L滿足的條件是：1m≤L＜1.5m或 L≤0.25 m．
答：（1）物塊A與彈簧剛接觸時的速度大小為2$\sqrt{2}$m/s．
（2）物塊A被彈簧以原速率彈回返回到圓形軌道的高度0.2m．
（3）A物塊能第一次返回圓形軌道且能沿軌道運動而不會脫離軌道的條件是：1m≤l＜1.5m或 l≤0.25m．

點評 本題綜合考查了動量守恒定律、動能定理、牛頓第二定律，關(guān)鍵要掌握小球不脫離圓軌道的條件，知道有兩種情況，不能漏解，綜合性較強，對學生的能力要求較高，需加強訓練．