Question

3．如圖所示，地面和半圓軌道面PTQ均光滑．質(zhì)量M=l kg、長(zhǎng)L=4m的小車放在地面上，右端與墻壁的距離為s=3m，小車上表面與半圓軌道最低點(diǎn)P的切線相平．現(xiàn)有一質(zhì)量m=2kg的滑塊（不計(jì)大�。┮詖₀=6m/s的初速度滑上小車左端，帶動(dòng)小車向右運(yùn)動(dòng)．小車與墻壁碰撞時(shí)即被粘在墻壁上，已知滑塊與小車表面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，g取10m/s²．求：
（1）判斷小車與墻壁碰撞前是否已與滑塊相對(duì)靜止并求小車與墻壁碰撞時(shí)滑塊的速度；
（2）若滑塊可以沿圓軌道從Q點(diǎn)拋出，求半圓軌道半徑R的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）假設(shè)小車與墻壁碰撞前有共同速度，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律求出此過(guò)程中滑塊與小車的相對(duì)位移，判斷小車與墻壁碰撞前滑塊與小車的速度是否相同，并求出小車與墻壁碰撞時(shí)的速度；
（2）若滑塊恰能滑過(guò)圓的最高點(diǎn)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出滑塊經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出軌道半徑；若滑塊恰好滑至$\frac{1}{4}$圓弧到達(dá)T點(diǎn)時(shí)就停止，滑塊也能沿圓軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離圓軌道．根據(jù)動(dòng)能定理求解半徑，即能得到半徑的條件．

解答 解：（1）設(shè)滑塊與小車的共同速度為v₁，滑塊與小車相對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)量守恒，
以向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：mv₀=（m+M）v₁，代入數(shù)據(jù)解得：v₁=4m/s，
設(shè)滑塊與小車的相對(duì)位移為 L₁，由系統(tǒng)能量守恒定律，有：μmgL₁=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$（M+m）v₁²，
代入數(shù)據(jù)解得：L₁=3m，
設(shè)與滑塊相對(duì)靜止時(shí)小車的位移為S₁，根據(jù)動(dòng)能定理，有
μmgS₁=$\frac{1}{2}$Mv₁²-0，代入數(shù)據(jù)解得S₁=2m，
因L₁＜L，S₁＜S，說(shuō)明小車與墻壁碰撞前滑塊與小車已具有共同速度，且共速時(shí)小車與墻壁還未發(fā)生碰撞，故小車與碰壁碰撞時(shí)的速度即v₁=4m/s．
（2）滑塊將在小車上繼續(xù)向右做初速度為v₁=4m/s，位移為L(zhǎng)₂=L-L₁=1m的勻減速運(yùn)動(dòng)，然后滑上圓軌道的最低點(diǎn)P．
若滑塊恰能滑過(guò)圓的最高點(diǎn)，設(shè)滑至最高點(diǎn)的速度為v，臨界條件為：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
根據(jù)動(dòng)能定理，有：-μmgL₂-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₁²，
①②聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得R=0.24m 
若滑塊恰好滑至$\frac{1}{4}$圓弧到達(dá)T點(diǎn)時(shí)就停止，則滑塊也能沿圓軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離圓軌道．
根據(jù)動(dòng)能定理，有：-μmgL₂-mg•R=0-$\frac{1}{2}$mv₁²，代入數(shù)據(jù)解得R=0.6m，
綜上所述，滑塊能沿圓軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離圓軌道，半圓軌道的半徑必須滿足
R≤0.24m或R≥0.6m 
答：（1）小車與墻壁碰撞時(shí)滑塊的速度是4m/s；
（2）要滑塊能沿圓軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離圓軌道，半圓軌道的半徑R的取值為R≤0.24m或R≥0.6m．

點(diǎn)評(píng) 本題通過(guò)計(jì)算分析小車與墻壁碰撞前滑塊與小車的速度是否相同是難點(diǎn)．第2題容易只考慮滑塊通過(guò)最高點(diǎn)的情況，而遺漏滑塊恰好滑至$\frac{1}{4}$圓弧到達(dá)T點(diǎn)時(shí)停止的情況，要培養(yǎng)自己分析隱含的臨界狀態(tài)的能力．