Question

15．如圖所示，整個(gè)直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)分布著方向垂直于坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在y≥0的區(qū)域內(nèi)還有方向平行于坐標(biāo)平面的勻強(qiáng)電場(chǎng)（圖中未畫出），x軸上有厚度不計(jì)的離子收集板MN，MN在坐標(biāo)原點(diǎn)O處有小孔．現(xiàn)讓一質(zhì)量為m、電荷量為q的正離子從位置P（-l，l）以正對(duì)O點(diǎn)的速度v射出，離子恰好能沿直線PO射入并穿出小孔，不計(jì)離子所受重力，求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向；
（2）粒子全程運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和打在收集板MN上的位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）分析可知，粒子受電場(chǎng)力和洛倫茲力作用沿PO直線運(yùn)動(dòng)，因?yàn)槁鍌惼澚﹄S速度大小變化而變化，所以粒子只能做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)受力平衡即可求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向；
（2）先求出粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再利用周期公式結(jié)合粒子轉(zhuǎn)過的圓心角求解粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，將兩個(gè)時(shí)間加和即可求出全程總時(shí)間，利用洛倫茲力提供向心力結(jié)合幾何關(guān)系，即可求出粒子打在收集板MN上的位置坐標(biāo)．

解答 解：（1）由P的位置特點(diǎn)知，∠POy=45°
由力的平衡條件有：Eq=qvB
解得：E=vB
由左手定則知，洛倫茲力的方向垂直于PO斜向左下，故電場(chǎng)力的方向垂直于PO斜向右上．
因粒子帶正電，所以電場(chǎng)強(qiáng)度的方向垂直于PO斜向右上，與x軸成45°夾角
（2）根據(jù)幾何關(guān)系可得：PO=$\sqrt{2}$l
離子在y≥0的區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁=$\frac{PO}{v}$=$\frac{\sqrt{2}l}{v}$
穿出小孔后離子在y≤0區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖所示，

其中O′為軌跡圓圓心，D為離子打在收集板上的位置
由洛倫茲力提供向心力可得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
R=$\frac{mv}{qB}$
運(yùn)動(dòng)周期T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$
軌跡對(duì)應(yīng)圓心角θ=270°，故離子在y≤0區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂=$\frac{270°}{360°}$T=$\frac{3πm}{2qB}$
粒子全程運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=t₁+t₂=$\frac{\sqrt{2}l}{v}+\frac{3πm}{qB}$
由幾何關(guān)系知，DO=2Rcos45°=$\frac{\sqrt{2}mv}{qB}$
所以，離子打在收集板MN上的位置坐標(biāo)D（-$\frac{\sqrt{2}mv}{qB}$，0）
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為vB，方向垂直于PO斜向右上，與x軸成45°夾角；
（2）粒子全程運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{\sqrt{2}l}{v}+\frac{3πm}{qB}$，打在收集板MN上的位置坐標(biāo)為（-$\frac{\sqrt{2}mv}{qB}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)與磁場(chǎng)的復(fù)合場(chǎng)中，為速度選擇器模型，粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用力平衡解決；在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用半徑公式與幾何關(guān)系結(jié)合求解D點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用周期公式與轉(zhuǎn)過的圓心角結(jié)合，去求解時(shí)間．解題的關(guān)鍵是要正確作出粒子軌跡過程圖．