Question

20．小明站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)里為m的小球，甩動手腕，使球在豎直平而內(nèi)做圓周運動．當球某次運動到最低點時，繩突然斷掉，球飛行水平距離d后落地，如右圖所示．已知握繩的手離地而髙度為d，手與球之間的繩長為$\frac{3}{4}$d，重力加速度為g．忽略手的運動半徑和空氣阻力．
（1）求繩斷時球的速度大小V
（2）問繩能承受的最大拉力多大？
（3）改變繩長，使球重復上述運動，若繩仍在球運動到最低點時斷掉，且繩的最大承受力不變，要使球拋出的水平距離最大，繩長應為多少？最大水平距離為多少？

Answer 1

分析 （1）繩斷后小球做平拋運動，根據(jù)平拋運動的規(guī)律即可求解繩斷時球的速度大小v．
（2）設繩能承受的最大拉力大小為T，這也是球受到繩的最大拉力大�。�根據(jù)向心力公式即可求解．
（3）設繩長為l，繩斷時球的速度大小為v₃，繩承受的最大推力不變，根據(jù)圓周運動向心力公式及平拋運動的規(guī)律，結(jié)合數(shù)學知識即可解題．

解答 解：（1）設繩斷后球飛行時間為t，由平拋運動規(guī)律，有
豎直方向有：$\frac{1}{4}$d=$\frac{1}{2}$gt²，
水平方向有：d=vt
解得：v=$\sqrt{2gd}$
（2）設繩能承受的最大拉力大小為T．球做圓周運動的半徑為：
R=$\frac{3}{4}$d
由圓周運動向心力公式，有：
T-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得：T=$\frac{11}{3}$mg
（3）設繩長為l，繩斷時球的速度大小為v₁，繩承受的最大拉力不變，有：T-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{l}$，
得：v₁=$\sqrt{\frac{8}{3}gl}$
繩斷后球做平拋運動，豎直位移為d-l，水平位移為x，時間為t₁，有：
d-l=$\frac{1}{2}$gt₁²
x=v₁t₁
得：x=4$\sqrt{\frac{l（d-l）}{3}}$
由數(shù)學知識得，當l=$\frac0psqong{2}$時，x有最大值，為：
x_max=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$d
答：（1）繩斷時球的速度大小v是$\sqrt{2gd}$．
（2）繩能承受的最大拉力為$\frac{11}{3}$mg．
（3）要使球拋出的水平距離最大，繩長應為$\fracpfzd0d0{2}$，最大水平距離為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$d．

點評 本題關鍵掌握圓周運動向心力公式及平拋運動的規(guī)律的應用．物理上求極值問題，往往根據(jù)物理規(guī)律得到表達式，再由數(shù)學知識求解，這種方法叫函數(shù)法．