Question

【題目】如圖1所示，兩物塊A、B套在水平粗糙的CD桿上，并用不可伸長的輕繩連接，整個(gè)裝置能繞過CD中點(diǎn)的軸OO1轉(zhuǎn)動(dòng)，已知兩物塊質(zhì)量相等均為m，桿CD對(duì)物塊A、B的最大靜摩擦力大小相等且動(dòng)摩擦系數(shù)為μ．開始時(shí)繩子處于自然長度（繩子恰好伸直但無彈力），物塊B到OO1軸的距離為2L，物塊A到OO1軸的距離為L，現(xiàn)讓該裝置從靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)，使轉(zhuǎn)速逐漸增大，求：

（1）當(dāng)B的摩擦力達(dá)到最大值的時(shí)候，角速度是多少？
（2）當(dāng)A的摩擦力為0的是時(shí)候，角速度是多少？
（3）當(dāng)AB即將滑動(dòng)的時(shí)候，角速度是多少？
（4）裝置可以以不同的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，試通過計(jì)算在圖2坐標(biāo)圖中畫出A和B的摩擦力隨角速度的平方變化的關(guān)系圖象．
（5）當(dāng)AB即將滑動(dòng)時(shí)，若把繩剪斷，請(qǐng)判斷A和B是否還能與桿保持相對(duì)靜止．

Answer 1

【答案】
（1）

解：開始時(shí)，繩子的拉力為零，由于B的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑大于A的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑，故B需要的向心力大于A（AB兩物體質(zhì)量均為m），故B先達(dá)到最大靜摩擦力，根據(jù)牛頓第二定律可知：

μmg=mω122L，

解得：ω1=

答：當(dāng)B的摩擦力達(dá)到最大值的時(shí)候，角速度是

（2）

根據(jù)牛頓第二定律，

對(duì)A有：T=mω22L

對(duì)B有：T+μmg=mω222L

聯(lián)立解得：ω2=

答：當(dāng)A的摩擦力為0的是時(shí)候，角速度是

（3）

當(dāng)角速度增大時(shí)，AB即將滑動(dòng)時(shí)（B沿半徑向外滑動(dòng)，A沿半徑向里滑動(dòng)），此時(shí)A受到的摩擦力為μmg，方向沿半徑向外，則對(duì)A有：

T′﹣μmg=m L

此時(shí)B受到的摩擦力為μmg，方向沿半徑向里，對(duì)B有：

T′+μmg=m 2L

聯(lián)立以上兩式得：ω3=

T′=3μmg

答：當(dāng)AB即將滑動(dòng)的時(shí)候，角速度是

（4）

通過以上計(jì)算，可知當(dāng)角速度為 時(shí)，B達(dá)到了就大靜摩擦力，為μmg，方向指向轉(zhuǎn)軸，此時(shí)A的摩擦力為 ，方向指向轉(zhuǎn)軸；

當(dāng)角速度為 時(shí)，B的靜摩擦力為μmg，方向指向轉(zhuǎn)軸，此時(shí)A的摩擦力為0；

當(dāng)角速度為 時(shí)，B的靜摩擦力為μmg，方向指向轉(zhuǎn)軸，此時(shí)A的摩擦力大小為μmg，方向背向轉(zhuǎn)軸；

A和B的摩擦力隨角速度的平方變化的關(guān)系圖象如下圖所示

（5）

由第（3）可知，當(dāng)AB都將要滑動(dòng)時(shí)，繩子的拉力為T′=3μmg

此時(shí)A的向心力為：fA向=T′﹣μmg=2μmg

此時(shí)B的向心力為：fB向=T′+μmg=4μmg

若把繩子剪斷，桿對(duì)AB能產(chǎn)生的最大摩擦力為μmg，所以AB均不能與桿保持靜止．

答：當(dāng)AB即將滑動(dòng)時(shí)，若把繩剪斷，A和B均不能與桿保持相對(duì)靜止

【解析】（1）先分析AB兩物體誰先能達(dá)到最大靜摩擦力，并以此物體為研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析，結(jié)合牛頓第二定律即可得知此時(shí)的角速度（2）對(duì)AB分別利用牛頓第二定律列式，聯(lián)立可得知當(dāng)A的摩擦力為0的是時(shí)候的角速度（3）當(dāng)AB即將滑動(dòng)的時(shí)候，分別對(duì)AB進(jìn)行受力分析，AB分別利用牛頓第二定律列式，聯(lián)立可得知此時(shí)的角速度（4）結(jié)合前三問的解答，可畫出A和B的摩擦力隨角速度的平方變化的關(guān)系圖象（5）結(jié)合（3）的解答，先計(jì)算出此時(shí)AB兩物體的向心力，當(dāng)繩子剪斷后，結(jié)合此時(shí)桿對(duì)AB能提供的最大靜摩擦，可得知A和B是否還能與桿保持相對(duì)靜止
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解向心力的相關(guān)知識(shí)，掌握向心力總是指向圓心，產(chǎn)生向心加速度，向心力只改變線速度的方向，不改變速度的大小；向心力是根據(jù)力的效果命名的.在分析做圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)受力情況時(shí)，千萬不可在物體受力之外再添加一個(gè)向心力．