Question

6．A、B兩行星在同一平面內(nèi)繞同一恒星做勻速圓周運動，運行方向相同，A的軌道半徑為r₁，B的軌道半徑為r₂，已知恒星質(zhì)量為m，恒星對行星的引力遠大于行星間的引力，兩行星的軌道半徑r₁＜r₂．若在某一時刻兩行星相距最近，試求：再經(jīng)過多少時間兩行星距離又最近？

Answer 1

分析 A、B兩行星距離最近時A、B與恒星在同一條圓半徑上．根據(jù)恒星對行星的萬有引力提供向心力列式，得到行星角速度的表達式．根據(jù)A、B距離最近的條件是：ω₁t-ω₂t=n×2π（n=1，2，3…），求出時間．

解答 解：A、B兩行星距離最近時A、B與恒星在同一條圓半徑上． A、B運動方向相同，A更靠近恒星，A的轉(zhuǎn)動角速度大、周期短．如果經(jīng)過時間t，A、B與恒星連線半徑轉(zhuǎn)過的角度相差2π的整數(shù)倍，則A、B與恒星又位于同一條圓半徑上，距離最近．
設(shè)A、B的角速度分別為ω₁，ω₂，經(jīng)過時間t，A轉(zhuǎn)過的角速度為ω₁t，B轉(zhuǎn)過的角度為ω₂t．A、B距離最近的條件是：ω₁t-ω₂t=n×2π（n=1，2，3…）
恒星對行星的引力提供向心力，則：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m{ω}^{2}r$
解得：$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$
由此得出：${ω}_{1}=\sqrt{\frac{GM}{{{r}_{1}}^{3}}}$，${ω}_{2}=\sqrt{\frac{GM}{{{r}_{2}}^{3}}}$
求得t=$\frac{2πn}{\sqrt{\frac{GM}{{{r}_{1}}^{3}}}-\sqrt{\frac{GM}{{{r}_{2}}^{3}}}}$（n=1，2，3…）．
答：再經(jīng)過$\frac{2πn}{\sqrt{\frac{GM}{{{r}_{1}}^{3}}}-\sqrt{\frac{GM}{{{r}_{2}}^{3}}}}$（n=1，2，3…）時間兩行星距離又最近．

點評 本題根據(jù)處理衛(wèi)星問題的基本思路：萬有引力等于向心力的基礎(chǔ)上，抓住圓周運動的周期性，運用數(shù)學(xué)知識求解時間．