Question

已知地球的自轉(zhuǎn)周期和半徑分別為T和R，地球同步衛(wèi)星A的圓軌道半徑為h。衛(wèi)星B沿半徑為r(r<h)的圓軌道在地球赤道的正上方運行，其運行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同。求

(1)衛(wèi)星B做圓周運動的周期；

(2)衛(wèi)星A和B連續(xù)地不能直接通訊的最長時間間隔(信號傳輸時間可忽略)。

Answer 1

 (1)()^3/2T

(2)(arcsin＋arcsin)T

[解析]　本題考查萬有引力在實際問題中的應(yīng)用。解題思路如下(1)利用萬有引力等于向心力列方程求周期，(2)利用α＝ωt和幾何關(guān)系求出時間間隔。

(1)設(shè)衛(wèi)星B繞地心轉(zhuǎn)動的周期T′，根據(jù)萬有引力定律和圓周運動的規(guī)律有

G＝m()²h                                                     ①

G＝m′()²r                                               ②

式中，G為引力常量，M為地球質(zhì)量，m，m′分別為衛(wèi)星A、B的質(zhì)量。由①②式得

T′＝()^3/2T                                                          ③

(2)設(shè)衛(wèi)星A和B連續(xù)地不能直接通訊的最長時間間隔為r；

在此時間間隔r內(nèi)，衛(wèi)星A和B繞地心轉(zhuǎn)動的角度分別為α和α′，則

α＝2π                                                             ④

α′＝2π                                                       ⑤

若不考慮衛(wèi)星A的公轉(zhuǎn)，兩衛(wèi)星不能直接通訊時，衛(wèi)星B的位置應(yīng)在圖中B點和B′點之間，圖中內(nèi)圓表示地球的赤道。

由幾何關(guān)系得

∠BOB′＝2(arcsin＋arcsin)                                       ⑥

由③式知，當r<h時，衛(wèi)星B比衛(wèi)星A轉(zhuǎn)得快，考慮衛(wèi)星A的公轉(zhuǎn)后應(yīng)有

α′－α＝∠BOB′                                                     ⑦

由③④⑤⑥⑦式得

t＝(arcsin＋arcsin)T                                                                       ⑧