Question

5．如圖所示，放于豎直面內的光滑金屬細圓環(huán)半徑為R，質量為m的帶孔小球穿于環(huán)上，同時有一長為R的細繩一端系于球上，另一端系于圓環(huán)最低點，繩的最大拉力為2mg．重力加速度的大小為g，當圓環(huán)以角速度ω繞豎直直徑轉動時，下列說法錯誤的是（　　）

• A． 圓環(huán)角速度ω小于$\sqrt{\frac{g}{R}}$時，小球受到2個力的作用
• B． 圓環(huán)角速度ω等于$\sqrt{\frac{2g}{R}}$時，細繩恰好伸直
• C． 圓環(huán)角速度ω等于2$\sqrt{\frac{g}{R}}$時，細繩將斷裂
• D． 圓環(huán)角速度ω大于$\sqrt{\frac{6g}{R}}$時，小球受到2個力的作用

Answer 1

分析 因為圓環(huán)光滑，所以圓環(huán)肯定是重力、環(huán)對球的彈力，另外可能受到繩子的拉力．
細繩要產生拉力，繩要處于拉升狀態(tài)，根據(jù)幾何關系及向心力基本格式求出剛好不受拉力時的角速度，此角速度為臨界角速度，如果大于此角速度就受三個力．
根據(jù)受力分析，結合牛頓第二定律即可求出繩子將被拉斷時的角速度．

解答 解：A、B、D、細繩要產生拉力，繩要處于拉升狀態(tài)，根據(jù)幾何關系可知，此時細繩與豎直方向的夾角為60°，當圓環(huán)旋轉時，小球繞豎直軸做圓周運動，向心力由合力提供，其大小為：F=mω²r，根據(jù)幾何關系，其中r=Rsin60°一定，所以當角速度越大時，所需要的向心力越大，繩子拉力越大，所以對應的臨界條件是小球在此位置剛好不受拉力，此時角速度最小，需要的向心力最小，
對小球進行受力分析，恰好沒有拉力時，得：F_min=2mgsin60°，即2mgsin60°=m${{ω}_{min}}^{2}$Rsin60°解得：${{ω}_{min}}^{\;}=\sqrt{\frac{2g}{R}}$，所以只要ω＞$\sqrt{\frac{2g}{R}}$小球就受到3個力的作用．故AB正確，D錯誤．
C、當繩子的拉力達最大時，角速度達最大；同理可得：
mω²Rsin60°=2×2mgcos30°
所以最大角速度為：ω=$2\sqrt{\frac{g}{R}}$；故C正確；
本題選擇錯誤的，故選：D

點評 本題主要考查了圓周運動向心力公式的應用以及同學們受力分析的能力，要求同學們能找出臨界狀態(tài)并結合幾何關系解題，難度適中．