Question

如圖所示，兩個(gè)金屬輪A₁、A₂，可繞通過(guò)各自中心并與輪面垂直的固定的光滑金屬細(xì)軸O₁和O₂轉(zhuǎn)動(dòng)，O₁和O₂相互平行，水平放置。每個(gè)金屬輪由四根金屬輻條和金屬環(huán)組成，A₁輪的輻條長(zhǎng)為a₁、電阻為R₁，A₂輪的輻條長(zhǎng)為a₂、電阻為R₂，連接輻條的金屬環(huán)的寬度與電阻都可以忽略。半徑為a₀的絕緣圓盤(pán)D與A₁同軸且固連在一起。一輕細(xì)繩的一端固定在D邊緣上的某點(diǎn)，繩在D上繞足夠匝數(shù)后，懸掛一質(zhì)量為m的重物P。當(dāng)P下落時(shí)，通過(guò)細(xì)繩帶動(dòng)D和A₁繞O₁軸轉(zhuǎn)
動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，A₁、A₂保持接觸，無(wú)相對(duì)滑動(dòng)；兩輪與各自細(xì)軸之間保持良好的電接觸；兩細(xì)軸通過(guò)導(dǎo)線與一阻值為R的電阻相連。除R和A₁、A₂兩輪中輻條的電阻外，所有金屬的電阻都不計(jì)。整個(gè)裝置處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向與轉(zhuǎn)軸平行�，F(xiàn)將P釋放，試求P勻速下落時(shí)的速度。

Answer 1

粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為 ① 速度小的粒子將在x 軌道半徑大于a的粒子開(kāi)始進(jìn)入右測(cè)磁場(chǎng)，考慮r=a的極限情況，這種粒子在右側(cè)的圓軌跡與x軸在D點(diǎn)相切（虛線），OD=2a，這是水平屏上發(fā)亮范圍的左邊界。速度最大的粒子的軌跡如圖中實(shí)線所示，它由兩段圓弧組成，圓心分別為C和C’，C在y軸上，由對(duì)稱(chēng)性可知C’在x=2a直線上。設(shè)t₁為粒子在0₂為在x>a的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，由題意可知： 由此解得 ② ③由②、③式和對(duì)稱(chēng)性可得∠OCM=60° ④ ∠MC^’N=60° ⑤∠MC^‘P=360⁰=150° ⑥所以 ∠NC^‘P=150⁰－60⁰=90⁰ ⑦即為1/4圓周。因此，圓心C’在x軸上。設(shè)速度為最大值粒子的軌道半徑為R，由直角△COC’可得2Rsin60°=2a ⑧由圖可知OP=2a+R，因此水平熒光屏發(fā)亮范圍的右邊界的坐標(biāo) ⑨22參考解答： P被釋放后，細(xì)繩的張力對(duì)D產(chǎn)生機(jī)械力矩，帶動(dòng)D和A₁作逆時(shí)針的加速轉(zhuǎn)動(dòng)，通過(guò)兩個(gè)輪子之間無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的接觸，A₁帶動(dòng)A₂作順時(shí)針的加速運(yùn)動(dòng)。由于兩個(gè)輪子的輻條切割磁場(chǎng)線，所以在A₁產(chǎn)生由周邊沿輻條指向軸的電動(dòng)勢(shì)，在A₂產(chǎn)生由軸沿輻條指向周邊的電動(dòng)勢(shì)，經(jīng)電阻R構(gòu)成閉合電路。A₁、A₂中各輻條上流有沿電動(dòng)勢(shì)方向的電流，在磁場(chǎng)中輻條受到安培力。不難看出，安培力產(chǎn)生的電磁力矩是阻力矩，使A₁、A₂加速轉(zhuǎn)動(dòng)的勢(shì)頭減緩。A₁、A₂從起始的靜止?fàn)顟B(tài)逐漸加速轉(zhuǎn)動(dòng)，電流隨之逐漸增大，電磁阻力矩亦逐漸增大，直至電磁阻力矩與機(jī)械力矩相等，D、A₁和A₂停止作加速轉(zhuǎn)動(dòng)，均作勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)P勻速下落，設(shè)其速度為v，則A₁的角速度 (1)A₁帶動(dòng)A₂轉(zhuǎn)動(dòng)，A₂的角速度ω₂與A₁的角速度ω₁之間的關(guān)系為ω₁a₁=ω₂a₂ （2）A₁中每根輻條產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)均為 （3）軸與輪邊之間的電動(dòng)勢(shì)就是A₁中四條輻條電動(dòng)勢(shì)的并聯(lián)，其數(shù)值見(jiàn)（3）式。同理，A₂中，軸與輪邊之間的電動(dòng)勢(shì)就是A₂中四條輻條電動(dòng)勢(shì)的并聯(lián)，其數(shù)值為（4）A₁中每根輻條的電阻為R₁，軸與輪邊之間的電動(dòng)勢(shì)就是A₁中四條輻條電動(dòng)勢(shì)的并聯(lián)，其數(shù)值為R_A1=（5） A₂中每根輻條的電阻為R₂，軸與輪邊之間的電動(dòng)勢(shì)就是A₂中四條輻條電動(dòng)勢(shì)的并聯(lián)，其數(shù)值為R_A2=（6）A₁輪、A₂輪和電阻R構(gòu)成串聯(lián)回路，其中的電流為I=（7）以（1）至（6）式代入（7）式，得I=（8）當(dāng)P勻速下降時(shí)，對(duì)整個(gè)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，重力的功率等于所有電阻的焦耳熱功率之和，即 mgv=I²(R++) （9） 以（8）式代入（9）式得v=(10)