Question

5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，第Ⅳ象限存在垂直于坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子從y軸正半軸上的M點以速度v₀垂直于y軸射入電場，經(jīng)x軸上的N點與x軸正方向成θ=60°角射入磁場，最后從y軸負(fù)半軸上的P點垂直于y軸射出磁場，如圖所示．不計粒子重力，求：
（1）粒子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑r；
（2）粒子從M點運(yùn)動到P點的總時間t．

Answer 1

分析 （1）粒子垂直于電場進(jìn)入第一象限，粒子做類平拋運(yùn)動，由N到達(dá)P做圓周運(yùn)動．粒子以此速度進(jìn)入第四象限，在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動，利用洛倫茲力提供向心力的公式，可由牛頓第二定律求出在磁場中運(yùn)動的半徑．
（2）根據(jù)幾何關(guān)系求得粒子轉(zhuǎn)動的圓心角，再由圓周運(yùn)動的性質(zhì)明確總時間．

解答 解：（1）粒子垂直于電場進(jìn)入第一象限，粒子做類平拋運(yùn)動，將到達(dá)N點的速度分解得知：
vcosθ=v₀，
解得粒子離開電場時的速度大小為：v=2v₀．
粒子進(jìn)入第四象限后，在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動，則有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
得粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的軌道半徑為：R=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$；
（2）畫出軌跡如圖，由幾何知識得：ON=Rsin60°
粒子從M點到N點的時間為：t₁=$\frac{ON}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}R}{2{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}m}{qB}$
粒子從N到P所用的時間：t₂=$\frac{1}{3}$T=$\frac{1}{3}$$\frac{2πm}{qB}$
故有：t=t₁+t₂=$\frac{\sqrt{3}m}{qB}$+$\frac{1}{3}$$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{（3\sqrt{3}+2π）m}{3qB}$
答：（1）粒子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$；
（2）粒子從M點運(yùn)動到P點的總時間為$\frac{（3\sqrt{3}+2π）m}{3qB}$

點評 粒子在電場中運(yùn)動偏轉(zhuǎn)時，常用能量的觀點來解決問題，有時也要運(yùn)用運(yùn)動的合成與分解．粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的圓心、半徑及運(yùn)動時間的確定也是本題的一個考查重點，要正確畫出粒子運(yùn)動的軌跡圖，能熟練的運(yùn)用幾何知識解決物理問題．