Question

18．如圖所示，A是地球的同步衛(wèi)星，另有一顆質(zhì)量為m的衛(wèi)星B，其圓形軌道位于赤道平面內(nèi)，離地面高度為h．已知地球半徑為R，地球自轉(zhuǎn)角速度為ω₀，地球表面的重力加速度為g，O為地球中心．求：
（1）衛(wèi)星B運(yùn)行周期．
（2）衛(wèi)星B運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能．
（3）如衛(wèi)星B繞行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，某時(shí)刻A、B兩衛(wèi)星相距最近（O、B、A在同一直線上），則至少經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，它們?cè)僖淮蜗嗑嘧罱��?

Answer 1

分析 研究衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式表示出周期和速度．
衛(wèi)星A、B繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)衛(wèi)星B轉(zhuǎn)過(guò)的角度與衛(wèi)星A轉(zhuǎn)過(guò)的角度之差等于2π時(shí)，衛(wèi)星再一次相距最近．

解答 解：（1）由萬(wàn)有引力定律和向心力公式得
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$，
r=R+h
在地球表面有：G$\frac{GM}{{R}^{2}}$=mg②
聯(lián)立解得：T_B=2π$\sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{{gR}^{2}}}$
（2）根據(jù)地球衛(wèi)星萬(wàn)有引力提供向心力
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，r=R+h
衛(wèi)星B運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能E_k=$\frac{1}{2}$m${v}_{\;}^{2}$=$\frac{m{gR}^{2}}{2（R+h）}$，
（3）由題意得它們?cè)僖淮蜗嗑嘧罱鼤r(shí)，一定是B比A多轉(zhuǎn)了一圈，有：
（ω_B-ω₀）t=2π
ω_B=$\sqrt{\frac{{gR}^{2}}{{（R+h）}^{3}}}$，
解得：t=$\frac{2π}{\sqrt{\frac{{gR}^{2}}{{（R+h）}^{3}}{-ω}_{0}}}$．
答：（1）衛(wèi)星B運(yùn)行周期是2π$\sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{{gR}^{2}}}$．
（2）衛(wèi)星B運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能是$\frac{m{gR}^{2}}{2（R+h）}$．
（3）如衛(wèi)星B繞行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，某時(shí)刻A、B兩衛(wèi)星相距最近（O、B、A在同一直線上），則至少經(jīng)過(guò)$\frac{2π}{\sqrt{\frac{{gR}^{2}}{{（R+h）}^{3}}{-ω}_{0}}}$它們?cè)僖淮蜗嗑嘧罱��?/p>

點(diǎn)評(píng) 本題考查萬(wàn)有引力定律和圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力．
向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．