Question

如圖所示，豎直平面內(nèi)有一半 徑R=0.9m、圓心角為60°的光滑圓弧 軌道PM，圓弧軌道最底端M處平滑 連接一長s=3m的粗糙平臺MN，質 量分別為m_A=4kg，m_B=2kg的物塊 A，B靜置于M點，它們中間夾有長 度不計的輕質彈簧，彈簧與A連結，與B不相連，用細線拉緊A、B使彈簧處于壓縮狀態(tài)．N端有一小球C，用長為L的輕 繩懸吊，對N點剛好無壓力．現(xiàn)燒斷細線，A恰好能從P端滑出，B與C碰后總是交換速度．A、B、C均可視為質點，g取10m/s²，問：
（1）A剛滑上圓弧時對軌道的壓力為多少？
（2）燒斷細線前系統(tǒng)的彈性勢能為多少？
（3）若B與C只能碰撞2次，B最終仍停在平臺上，整個過程中繩子始終不松弛，求B與 平臺間動摩擦因數(shù)?的范圍及?取最小值時對應的繩長L．

Answer 1

（1）A在上滑過程中機械能守恒，有

1

2

m

v

2A

=mgR（1-cos60°）
v_A=3m/s
根據(jù)牛頓運動定律 
N-m_Ag=m_A

v 2A

R

N=80N
由牛頓第三定律得，A對圓弧的壓力為80N，方向豎直向下．
（2）由動量守恒得：
m_Av_A=m_Bv_B
由能量守恒得
E_p=

1

2

m_A

v

2A

+

1

2

m_B

v

2B

得：E_p=54J
（3）因B、C碰后速度交換，B靜止，C做圓周運動，繩子不能松弛，一種情況是越過最高點，繼續(xù)做圓周運動，
與B碰撞，B一定離開平臺，不符合要求．另一種情況是C做圓周運動不超過

1

4

圓周，返回后再與B發(fā)生碰撞．               
B剛好能與C發(fā)生第一次碰撞
0-

1

2

m_B

v

2B

=-μm_Bgs
   解得 μ=0.6
   依題意有   μ＜0.6
B與C剛要發(fā)生第三次碰撞，則
0-

1

2

m_B

v

2B

=-3μm_Bgs
  解得  μ=0.2
   依題意有  μ＞0.2
B與C發(fā)生兩次碰撞后不能從左側滑出
0-

1

2

m_B

v

2B

=-2μm_Bgs-m_BgR（1-cos60°）
解得 μ=0.225
   依題意有 μ≥0.225
綜上所得   0.225≤μ＜0.6                        
取μ=0.225，B與C碰撞后，C的速度最大，要繩不松弛，有：

1

2

m_B

v

2B1

-

1

2

m_B

v

2B

=-μm_Bgs
v_B1=v_C

1

2

m_C

v

2C

=m_CgL
解得：L=1.125m
依題意：L≤1.125m
答：（1）A剛滑上圓弧時對軌道的壓力為80N
（2）燒斷細線前系統(tǒng)的彈性勢能是54J
（3）若B與C只能碰撞2次，B最終仍停在平臺上，整個過程中繩子始終不松弛，B與平臺間動摩擦因數(shù)?的范圍是 0.225≤μ＜0.6，
?取最小值時對應的繩L=1.125m．