Question

11．如圖1所示，兩根間距為L的金屬導軌MN和PQ，電阻不計，左端向上彎曲，其余水平，水平導軌左端有寬度為d、方向豎直向上的勻強磁場I，右端有另一磁場II，其寬度也為d，但方向豎直向下，磁場的磁感強度大小均為B．有兩根質量均為m的金屬棒a和b與導軌垂直放置，a和b在兩導軌間的電阻均為R，b棒置于磁場II中點C、D處，導軌除C、D兩處（對應的距離極短）外其余均光滑，兩處對棒可產生總的最大靜摩擦力為棒重力的K倍，a棒從彎曲導軌某處由靜止釋放．當只有一根棒作切割磁感線運動時，它速度的減小量與它在磁場中通過的距離成正比，即△v∝△x．試求：

（1）若b棒保持靜止不動，則a棒釋放的最大高度h₀．
（2）若將a棒從高度小于h₀的某處釋放，使其以速度v₀進入磁場I，結果a棒以$\frac{{v}_{0}}{2}$的速度從磁場I中穿出，求在a棒穿過磁場I過程中通過b棒的電量q和兩棒即將相碰時b棒上的電功率P_b．
（3）若將a棒從高度大于h₀的某處釋放，使其以速度v₁進入磁場I，經過時間t₁后a棒從磁場I穿出時的速度大小為$\frac{2{v}_{1}}{3}$，求此時b棒的速度大小，在如圖2坐標中大致畫出t₁時間內兩棒的速度大小隨時間的變化圖象．

Answer 1

分析 （1）a棒從h₀高處釋放后在彎曲導軌上滑動時機械能守恒求得速度，根據法拉第電磁感應定律求得電動勢，在求出安培力．
（2）流過電阻R的電量q=$\overline{I}$△t，求出電流，求出電功率．
（3）由于a棒從高度大于h₀處釋放，因此當a棒進入磁場I后，b棒開始向左運動．由于每時每刻流過兩棒的電流強度大小相等，兩磁場的磁感強度大小也相等，所以兩棒在各自磁場中都做變加速運動，且每時每刻兩棒的加速度大小均相同．

解答 解：（1）a棒從h₀高處釋放后在彎曲導軌上滑動時機械守恒，有
$mg{h}_{0}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：v=$\sqrt{2g{h}_{0}}$
a棒剛進入磁場I時 E=BLv  
此時感應電流大小I=$\frac{E}{2R}$   
此時b棒受到的安培力大小 F=BIL 
依題意，有F=Kmg 
解得h₀=$\frac{2{K}^{2}{m}^{2}g{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$
（2）由于a棒從小于進入h₀釋放，因此b棒在兩棒相碰前將保持靜止．
流過電阻R的電量q=$\overline{I}$△t
又$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{{R}_{總}}$=$\frac{△∅}{{R}_{總}△t}$=$\frac{B△S}{{R}_{總}△t}$
所以在a棒穿過磁場I的過程中，通過電阻R的電量
q=$\frac{B△S}{{R}_{總}}$=$\frac{BLd}{2R}$
將要相碰時a棒的速度v=$\frac{{v}_{0}}{2}-\frac{{v}_{0}-\frac{{v}_{0}}{2}}wv9e5za×\fracblusjl9{2}=\frac{{v}_{0}}{4}$
此時電流I=$\frac{BLv}{2R}$=$\frac{BL{v}_{0}}{8R}$  
此時b棒電功率 ${P}_={I}^{2}R$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}^{2}}{64R}$ 
（3）由于a棒從高度大于h₀處釋放，因此當a棒進入磁場I后，b棒開始向左運動．由于每時每刻流過兩棒的電流強度大小相等，兩磁場的磁感強度大小相等，所以兩棒在各自磁場中都做變加速運動，且每時每刻兩棒的加速大小均相同，
所以當a棒在t₁時間內速度改變（${v}_{1}-\frac{2}{3}{v}_{1}$）=$\frac{{v}_{1}}{3}$時，b棒速度大小也相應改變了$\frac{{v}_{1}}{3}$，
即此時b棒速度大小為$\frac{{v}_{1}}{3}$
兩棒的速度大小隨時間的變化圖象大致右圖所示：
  
答：（1）若b棒保持靜止不動，則a棒釋放的最大高度$\frac{2{K}^{2}{m}^{2}g{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$．
（2）在a棒穿過磁場I過程中通過b棒的電量$\frac{BLd}{2R}$和兩棒即將相碰時b棒上的電功率$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}^{2}}{64R}$．
（3）經過時間t₁后a棒從磁場I穿出時的速度大小為$\frac{2{v}_{1}}{3}$，此時b棒的速度大小$\frac{{v}_{1}}{3}$，在t₁時間內兩棒的速度大小隨時間的變化圖象如上圖所示．

點評 本題考查了電磁感應中力學與功能問題，物理過程比較復雜，對于這類問題，理清解題的思路很重要．