Question

9．中國首個月球探測計劃“嫦娥工程”預計在2017年送機器人上月球，實地采樣送回地球，為載人登月及月球基地選址做準備．設想我國宇航員隨“嫦娥”號登月飛船繞月球飛行，飛船上備有以下實驗儀器：
A．計時表一只  
B．彈簧秤一把 
C．已知質(zhì)量為m的物體一個 
D．天平一只（附砝碼一盒）． 
在飛船貼近月球表面時可近似看成繞月球做勻速圓周運動，宇航員測量出飛船在靠近月球表面的圓形軌道繞行N圈所用的時間為t．飛船的登月艙在月球上著陸后，遙控機器人利用所攜帶的儀器又進行了第二次測量，利用上述兩次測量所得的物理量可出推導出月球的半徑和質(zhì)量．（已知萬有引力常量為G），試求：
（1）機器人進行第二次測量的內(nèi)容是什么？
（2）試推導用上述測量的物理量表示的月球半徑和質(zhì)量的表達式．

Answer 1

分析 （1）機器人進行第二次測量時利用F=mg測量重力加速度；
（2）飛船做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式；在月球表面，重力等于萬有引力，再次根據(jù)萬有引力定律列式；最后聯(lián)立求解即可．

解答 解：（1）機器人在月球上用彈簧秤豎直懸掛物體，靜止時讀出彈簧秤的讀數(shù)F，即為物體在月球上所受重力的大�。�
（2）在月球上忽略月球的自轉(zhuǎn)，可知：
mg_月=F…①
月球表面上有：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}=m{g}_{月}$…②
飛船在繞月球運行時，因為是靠近月球表面，故近似認為其軌道半徑為月球的半徑R；
由萬有引力提供物體做圓周運動的向心力可知：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$…③
又 T=$\frac{t}{N}$…④
由①、②、③、④式可知月球的半徑：
R=$\frac{F{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$=$\frac{F{t}^{2}}{4{π}^{2}{N}^{2}m}$
月球的質(zhì)量：
M=$\frac{{F}^{3}{t}^{4}}{16{π}^{4}G{N}^{4}{m}^{3}}$
答：（1）機器人進行第二次測量的內(nèi)容是：用彈簧秤豎直懸掛物體，靜止時讀出彈簧秤的讀數(shù)F，即為物體在月球上所受重力的大��；
（2）試推導用上述測量的物理量表示的月球半徑為$\frac{F{t}^{2}}{4{π}^{2}{N}^{2}m}$，質(zhì)量為$\frac{{F}^{3}{t}^{4}}{16{π}^{4}G{N}^{4}{m}^{3}}$．

點評 本題關(guān)鍵是明確飛船的運動情況和受力情況，然后結(jié)合牛頓第二定律和萬有引力定律列式求解，不難．