Question

18．如圖所示，在某豎直平面內(nèi)，光滑曲面AB與水平面BC平滑連接于B點(diǎn)，BC右端連接內(nèi)壁光滑、半徑r=0.2m的四分之一細(xì)圓管CD，管口D端正下方直立一根勁度系數(shù)為k=100N/m的輕彈簧，彈簧一端固定，另一端恰好與管口D端平齊．一個(gè)質(zhì)量為1kg的小球放在曲面AB上，現(xiàn)從距BC的高度為h=0.6m處靜止釋放小球，它與BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，小球進(jìn)入管口C端時(shí)，它對上管壁有F_N=2.5mg的作用力，通過CD后，在壓縮彈簧過程中小球速度最大時(shí)彈簧的彈性勢能為E_p=0.5J．取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）小球在C處受到的向心力大��；
（2）BC間距離s；
（3）在壓縮彈簧過程中小球的最大動(dòng)能E_km．

Answer 1

分析 （1）通過受力分析得到豎直方向的合外力即向心力；
（2）由向心力求得速度，再對AC運(yùn)動(dòng)過程應(yīng)用動(dòng)能定理即可求解；
（3）根據(jù)速度最大時(shí)受力平衡求得彈簧壓縮量（由彈性勢能亦可求），再對下落過程應(yīng)用動(dòng)能定理即可求解．

解答 解：（1）小球進(jìn)入管口C端時(shí)，它與圓管上管壁有大小為F=2.5mg的相互作用力，故小球受到的向心力為：
F_向=2.5mg+mg=3.5mg=3.5×1×10 N=35N；
（2）在C點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律有：
${F_向}=m\frac{v_C^2}{r}$；
小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)過程，只有重力、摩擦力做功，故由動(dòng)能定理可得：
$mgh-μmgs=\frac{1}{2}mv_C^2$=$\frac{1}{2}{F}_{向}r=\frac{7}{4}mgr$；
所以有：$s=\frac{h-\frac{7}{4}r}{μ}=0.5m$；
（3）在壓縮彈簧過程中速度最大時(shí)，合力為零．設(shè)此時(shí)小球離D端的距離為x₀，則有 kx₀=mg
所以，${x}_{0}=\frac{mg}{k}=0.1m$；
小球下落過程只有重力、彈簧彈力做功，故機(jī)械能守恒，則由機(jī)械能守恒定律有：
$mg（r+{x}_{0}）+\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}={E}_{km}+{E}_{p}$；
所以，${E}_{km}=mg（r+{x}_{0}）+\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-{E}_{p}$=$mg（r+{x}_{0}）+\frac{1}{2}{F}_{向}r-{E}_{p}=6J$；
答：（1）小球在C處受到的向心力大小為35N；
（2）BC間距離s為0.5m；
（3）在壓縮彈簧過程中小球的最大動(dòng)能E_km為6J．

點(diǎn)評 經(jīng)典力學(xué)問題一般先對物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．