Question

如圖所示，ABCDF為一絕緣光滑軌道，豎直放置在方向水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E．AB面水平，BCDF是半徑為R的圓形軌道，B為最低點(diǎn)．今有質(zhì)量為m的帶正電小球在電場(chǎng)力作用下由靜止從A點(diǎn)開(kāi)始沿軌道運(yùn)動(dòng)，小球受到的電場(chǎng)力和重力大小相等，小球能沿軌道做圓周運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)．
（1）小球在何處動(dòng)能最大；
（2）若AB間的距離為4R，則小球通過(guò)最高點(diǎn)D時(shí)的速度多大；
（3）AB間的距離至少為多大．

Answer 1

分析：（1）小球在重力和電場(chǎng)力的復(fù)合場(chǎng)中，有一個(gè)等效最高點(diǎn)與等效最低點(diǎn)，當(dāng)小球在等效最低點(diǎn)的時(shí)候，小球的動(dòng)能最大；
（2）要使小球在圓軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)，小球在運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的過(guò)程中，重力和電場(chǎng)力做功，根據(jù)動(dòng)能定律即可解答；
（3）使小球在圓軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)，小球在“最高”點(diǎn)不脫離圓環(huán)．這“最高”點(diǎn)并不是D點(diǎn)，可采用等效重力場(chǎng)的方法進(jìn)行求解．對(duì)小球受力分析可知，小球在混合場(chǎng)中的最高點(diǎn)，此時(shí)小球的速度應(yīng)該為零，在由動(dòng)能定理可以求得AB間的距離．

解答：解：（1）重力場(chǎng)和電場(chǎng)合成等效重力場(chǎng)，其方向?yàn)殡妶?chǎng)力和重力的合力方向，與豎直方向的夾角（如圖所示）tanθ=

mg

qE

=1
得：θ=45°
所以小球在BC之間且小球與圓心連線與豎直方向成θ=45°的位置動(dòng)能最大         
（2）從A點(diǎn)到最高點(diǎn)D，據(jù)動(dòng)能定理有：
Eq4R-mg2R=

1

2

mv2
v=2

gR

（3）等效重力加速度：g′=

F合

m

=

(mg)2+(qE)2

m

=

2

g
在等效重力場(chǎng)的“最高”點(diǎn)，小球剛好不掉下來(lái)時(shí)有：mg′=m

v2

R

v=

gR′

=

2 Rg

從A到等效重力場(chǎng)的“最高”點(diǎn)，由動(dòng)能定理有：qE(L-Rsin45O)-mg(R+Rcos45O)=

1

2

mv2-0
解得：L=

mgR(1+ 2 2 )+ 2 2 mgR+qE 2 2 R

qE

=(1+

3 2

2

)R
答：（1）小球在BC之間且小球與圓心連線與豎直方向成θ=45°的位置動(dòng)能最大；
（2）若AB間的距離為4R，則小球通過(guò)最高點(diǎn)D時(shí)的速度2

gR

；
（3）AB間的距離至少為(1+

3 2

2

)R．

點(diǎn)評(píng)：考查圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的最小速度，同時(shí)運(yùn)用動(dòng)能定理解題．小球在混合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵分析清楚小球的受力的情況，找到小球在混合場(chǎng)中的最高點(diǎn)，在最高點(diǎn)時(shí)球的速度的大小是最小的．