Question

如圖所示，桌面上有一輕質(zhì)彈簧，左端固定在A點(diǎn)，自然狀態(tài)時(shí)其右端B點(diǎn)位于桌面右側(cè)邊緣．水平桌面右側(cè)有一豎直放置、半徑R=0.3m的光滑半圓軌道MNP，桌面與軌道相切于M點(diǎn)．在以MP為直徑的右側(cè)和水平半徑ON的下方部分有水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)的大小E=

mg

q

．現(xiàn)用質(zhì)量m₀=0.4kg的小物塊a將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)，釋放后彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)物塊恰停止在B點(diǎn)．用同種材料、質(zhì)量為m=0.2kg、帶+q的絕緣小物塊b將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)，釋放后，小物塊b離開桌面由M點(diǎn)沿半圓軌道運(yùn)動(dòng)，恰好能通過軌道的最高點(diǎn)P．（取g=10m/s²）求：
（1）小物塊b經(jīng)過桌面右側(cè)邊緣B點(diǎn)時(shí)的速度大小；
（2）釋放后，小物塊b在運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦力做的功；
（3）小物塊b在半圓軌道運(yùn)動(dòng)中最大速度的大小．

Answer 1

分析：由于物體恰好能通過軌道的最高點(diǎn)P，因此可以通過豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件先求出P點(diǎn)的速度，再使用動(dòng)能定理求出物體在B點(diǎn)的速度；
由能量守恒定律聯(lián)立列式可求摩擦力做功；
物塊b與圓心連線與豎直方向的夾角為45⁰位置時(shí)（設(shè)為D），速度最大，根據(jù)動(dòng)能定理可求解．

解答：解：（1）由于物體恰好能通過軌道的最高點(diǎn)P，要滿足豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件：故有：
在P點(diǎn)：mg=

m v 2 P

R

        
B→P，由動(dòng)能定理得：
qER-mg?2R=

1

2

m

v

2 p

-

1

2

m

v

2 B

解得：v_B=3m/s              
（2）C→B，對(duì)物塊a，由能量守恒定律得：
E_p=μm₀gx_CB              
C→B，對(duì)物塊b，由能量守恒定律得：
Ep=μmgxCB+

1

2

m

v

2 B

       
摩擦力做功：W_f=μmgx_CB       
解得：W_f=0.9J            
（3）物塊b與圓心連線與豎直方向的夾角為45⁰位置時(shí)（設(shè)為D），速度最大
B→D，由動(dòng)能定理得：
qERsin45°-mgR（1-cos45°）=

1

2

m

v

2 D

-

1

2

m

v

2 B

  
解得：v_D=

3+6 2

m/s
答：（1）小物塊b經(jīng)過桌面右側(cè)邊緣B點(diǎn)時(shí)的速度大小為3m/s；
（2）釋放后，小物塊b在運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦力做的功為0.9J；
（3）小物塊b在半圓軌道運(yùn)動(dòng)中最大速度的大小為

3+6 2

m/s．

點(diǎn)評(píng)：該題通過動(dòng)能定律的方式考查物體在豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵在于豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件．屬于中檔題．