Question

2．“卡西尼”號(hào)土星探測(cè)器在離土星表面高h(yuǎn)的圓形軌道上飛行，環(huán)繞n周飛行時(shí)間為t，土星半徑為R，已知引力常量為G，則下列關(guān)于土星質(zhì)量M和平均密度ρ的表達(dá)式正確的是（　�。�

• A． M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）}{G{t}^{2}}$；ρ=$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{t}^{2}{R}^{3}}$
• B． M=$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+h）^{3}}{G{t}^{2}}$；ρ=$\frac{3π{n}^{2}（R+h）^{3}}{G{t}^{2}{R}^{3}}$
• C． M=$\frac{4{π}^{2}{t}^{2}（R+h）^{3}}{G{n}^{2}}$；ρ=$\frac{3π{t}^{2}（R+h）^{3}}{G{n}^{2}{R}^{3}}$
• D． M=$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+h）^{3}}{G{t}^{2}}$；ρ=$\frac{3π（R+h）^{2}}{G{t}^{2}{R}^{3}}$

Answer 1

分析 探測(cè)器繞土星飛行，環(huán)繞n周飛行時(shí)間為t，求出探測(cè)器運(yùn)行的周期．由土星的萬(wàn)有引力提供探測(cè)器的向心力列方程求出土星的質(zhì)量，由密度公式求出土星的平均密度．

解答 解：根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有：$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$
又衛(wèi)星的周期為：T=$\frac{t}{n}$
得土星的質(zhì)量：M=$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+h）^{3}}{G{t}^{2}}$，
由密度的定義式為：$ρ=\frac{M}{V}$，
土星的體積為：V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$
得土星的密度：ρ=$\frac{\frac{4{π}^{2}{n}^{2}{（R+h）}^{3}}{G{t}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π{n}^{2}{（R+h）}^{3}}{G{t}^{2}{R}^{3}}$
故B正確、ACD錯(cuò)誤．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題題目看似很長(zhǎng)，要耐心讀題，抓住要點(diǎn)，建立物理模型：探測(cè)器繞土星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，土星的萬(wàn)有引力提供向心力．