Question

17．如圖所示，固定的光滑平臺左端固定有一光滑的半圓軌道，軌道半徑為R，平臺上靜止放著兩個滑塊A、B，其質(zhì)量m_A=m，m_B=2m，兩滑塊間夾有少量炸藥．平臺右側(cè)有一木板，靜止在光滑的水平地面上，木板質(zhì)量M=3m，板面與平臺的臺面等高，板面粗糙，動摩擦因數(shù)μ=0.2，右側(cè)地面上有一立樁，立樁與木板右端的距離為s，當木板運動到立樁處立即被牢固粘連．點燃炸藥后，滑塊A恰好能夠通過半圓軌道的最高點D，滑塊B沖上木板．兩滑塊都可以看作質(zhì)點，炸藥的質(zhì)量忽略不計，爆炸的時間極短，爆炸后兩個滑塊的速度方向在同一水平直線上，重力加速度為g．求：

（1）炸藥爆炸后滑塊A的速度大小v_A
（2）炸藥爆炸后滑塊B的速度大小v_B．
（3）①若s足夠長，要使滑塊B能與木板相對靜止，則木板長度L至少為多少？
     ②若木板長度L=2R，立樁與木板右端的距離s可調(diào)整，調(diào)整范圍為0-2R，請討論滑塊B在木板上運動的過程中，克服摩擦力做的功W_f與s的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）炸藥爆炸后，滑塊A做圓周運動，滑塊A恰好能夠通過半圓軌道的最高點D，在D點，由重力充當向心力，由牛頓第二定律求出速度v_AD．再由動能定理求滑塊A的速度大小v_A．
（2）炸藥爆炸過程A、B組成的系統(tǒng)動量守恒，由動量守恒定律可以求出B的速度v_B．
（3）B與小車組成的系統(tǒng)動量守恒，由動量守恒定律、功能關(guān)系結(jié)合分析答題．

解答 解：（1）以水平向右為正方向，設(shè)爆炸后滑塊A的速度大小為v_A，
滑塊A在半圓軌道運動，設(shè)到達最高點的速度為v_AD，
由牛頓第二定律得：m_Ag=m_A$\frac{{v}_{AD}^{2}}{R}$，
解得：v_AD=$\sqrt{gR}$
滑塊A在半圓軌道運動過程中，由動能定理可得：
-m_Ag•2R=$\frac{1}{2}$m_Av_AD²-$\frac{1}{2}$m_Av_AC²，
解得：v_A=v_AC=$\sqrt{5gR}$
（2）A、B爆炸過程中動量守恒，以B的速度方向為正方向，
由動量守恒定律得：m_Bv_B-m_Av_A=0
解得：v_B=$\frac{\sqrt{5gl}}{2}$；
（3）①當滑塊B與小車共速，設(shè)此速度為v，
整個過程中，由動量守恒，以B的速度方向為正方向，由動量守恒定律得：
  2mv_B=（2m+3m）v
對木板和滑塊B組成的系統(tǒng)，由能量守恒定律得
   μ•2mgs_相對=$\frac{1}{2}$•2mv_B²-$\frac{1}{2}$（2m+3m）v²；
解得：s_相對=$\frac{15}{8}$R
即木板的最小長度 L_min=s_相對=$\frac{15}{8}$R
②對木板研究，由動能定理得
  μ•2mgs=$\frac{1}{2}$•3mv²-0；
得 s_車=$\frac{3}{4}$R（滑塊B與木板相對靜止時，木板的位移大�。�
共速后，木板與立樁粘連后，若滑塊B在板上做勻減速運動直到停下，其位移為
  s′=$\frac{{v}^{2}}{2μg}$=$\frac{1}{2}$R＞（2R-$\frac{15}{8}$R）=$\frac{1}{8}$R，即這種情況下滑塊會脫離木板
  （a）當0＜s＜$\frac{3}{4}$R葉，木板到與立樁粘連時未與滑塊B達到共速．
分析可知，滑塊會滑離木板，滑塊B克服摩擦力做功為
   W_f=μ•2mg（L+s）=0.4mg（2R+s）
  （b）當$\frac{3}{4}$R＜s＜2R時，木板與滑塊B先達到共速然后才與立樁粘連
木板與滑塊B共速后到碰到立樁之前，滑塊B與木板之間無摩擦力
滑塊從滑上小車到共速時克服摩擦力做功為：
   W_f1=μ•2mg（s_車+L）=0.4mg（$\frac{3}{4}$R+2R）=1.1mgR；
答：
（1）炸藥爆炸后滑塊A的速度大小v_A為$\sqrt{5gR}$．
（2）炸藥爆炸后滑塊B的速度大小v_B是$\frac{\sqrt{5gl}}{2}$．
（3）①若s足夠長，要使滑塊B能與木板相對靜止，則木板長度L至少為$\frac{15}{8}$R．
②（a）當0＜s＜$\frac{3}{4}$R葉，木板到與立樁粘連時未與滑塊B達到共速，滑塊B克服摩擦力做功為0.4mg（2R+s）．
  （b）當$\frac{3}{4}$R＜s＜2R時，木板與滑塊B先達到共速然后才與立樁粘連．滑塊從滑上小車到共速時克服摩擦力做功為1.1mgR．

點評 本題過程比較復(fù)雜，分析清楚物體運動過程是正確解題的前提與關(guān)鍵，確定研究對象與研究過程，應(yīng)用牛頓第二定律、動量守恒定律、能量守恒定律即可正確解題．