Question

8．已知地球半徑為R，表面重力加速度為g，一晝夜時(shí)間為T(mén)，萬(wàn)有引力常量為G，忽略地球自轉(zhuǎn)的影響．試求：
（1）第一宇宙速度；
（2）近地衛(wèi)星的周期；
（3）同步衛(wèi)星高度；
（4）地球平均密度．

Answer 1

分析 （1）萬(wàn)有引力提供向心力，應(yīng)用萬(wàn)有引力公式與牛頓第二定律可以求出第一宇宙速度．
（2）根據(jù)線速度與周期的關(guān)系可以求出近地衛(wèi)星的周期．
（3）萬(wàn)有引力提供向心力，應(yīng)用萬(wàn)有引力公式與牛頓第二定律可以求出同步衛(wèi)星的軌道半徑，然后求出衛(wèi)星高度．
（4）先求出地球質(zhì)量，然后應(yīng)用密度公式求出地球的平均密度．

解答 解：地球表面的物體所受重力等于萬(wàn)有引力，即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
解得：GM=gR²；
（1）由牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}$；
（2）近地衛(wèi)星的周期：T=$\frac{2πR}{v}$=2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$；
（3）同步衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)萬(wàn)有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$（R+h），
解得高度為：h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R；
（4）地球的平均密度為：
ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$；
答：（1）第一宇宙速度為$\sqrt{gR}$；
（2）近地衛(wèi)星的周期為2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$；
（3）同步衛(wèi)星高度為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R；
（4）地球平均密度為$\frac{3g}{4πGR}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用；地球的第一宇宙速度是衛(wèi)星繞地球表面做圓周運(yùn)動(dòng)的速度，衛(wèi)星的軌道半徑等于地球半徑，這是解題的前提；應(yīng)用萬(wàn)有引力定律與牛頓第二定律可以解題．