Question

16．有一水平放置的圓盤，上面放一勁度系數(shù)為k的彈簧，如圖所示，彈簧的一端固定于軸O上，另一端系一質(zhì)量為m的物體A，物體與盤面間的動摩擦因數(shù)為μ，開始時彈簧未發(fā)生形變，長度為l．設(shè)最大靜摩擦力大小等于滑動摩擦力．求：
（1）盤的轉(zhuǎn)速ω₀多大時，物體A開始滑動？
（2）當(dāng)轉(zhuǎn)速緩慢增大到2ω₀時，A仍隨圓盤做勻速圓周運(yùn)動，彈簧的伸長量△x是多少？

Answer 1

分析 （1）物體A隨圓盤轉(zhuǎn)動的過程中，若圓盤轉(zhuǎn)速較小，由靜摩擦力提供向心力；當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速較大時，彈力與摩擦力的合力提供向心力．物體A剛開始滑動時，彈簧的彈力為零，靜摩擦力達(dá)到最大值，由靜摩擦力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解角速度ω₀．
（2）當(dāng)角速度達(dá)到2ω₀時，由彈力與摩擦力的合力提供向心力，由牛頓第二定律和胡克定律求解彈簧的伸長量△x．

解答 解：若圓盤轉(zhuǎn)速較小，則靜摩擦力提供向心力，當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速較大時，彈力與靜摩擦力的合力提供向心力．
（1）當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速為n₀時，A即將開始滑動，此時它所受的最大靜摩擦力提供向心力，則有：
$μmg=ml{ω}_{0}^{2}$，
解得：${ω}_{0}=\sqrt{\frac{μg}{l}}$．
即當(dāng)${ω}_{0}=\sqrt{\frac{μg}{l}}$時物體A開始滑動．
（2）當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速達(dá)到2ω₀時，物體受到的最大靜摩擦力已不足以提供向心力，需要彈簧的彈力來補(bǔ)充，
即：$μmg+k△x=mrω_1^2$，
r=l+△x
解得：$△x=\frac{3μmgl}{kl-4μmg}$．
答：（1）盤的轉(zhuǎn)速是$\sqrt{\frac{μg}{l}}$時，物體A開始滑動；
（2）當(dāng)轉(zhuǎn)速緩慢增大到2ω₀時，A仍隨圓盤做勻速圓周運(yùn)動，彈簧的伸長量△x是$\frac{3μmgl}{kl-4μmg}$．

點(diǎn)評 當(dāng)物體相對于接觸物體剛要滑動時，靜摩擦力達(dá)到最大，這是經(jīng)常用到的臨界條件．本題關(guān)鍵是分析物體的受力情況．