Question

14．坐標原點O處有一點狀的放射源，它向xoy平面內的x軸上方各個方向發(fā)射α粒子，α粒子的速度大小都是v₀，在0＜y＜d的區(qū)域內分布有指向y軸正方向的勻強電場，場強大小為E=$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2qd}$，其中q和m分別為α粒子的電量和質量；在d＜x＜4d的區(qū)域內分布有垂直于xoy平面的勻強磁場．Ab為一塊很大的平面感光板，放置于y=4d處，如圖所示．觀察發(fā)現此時恰無粒子打到ab板上．不考慮α粒子的重力．求：
（1）α粒子剛進入磁場時的動能．
（2）磁感應強度B的大�。�
（3）將ab板平移到什么位置時所有的粒子均能打到板上？此時ab板上被α粒子打中的區(qū)域的長度為多少？

Answer 1

分析 （1）根據動能定理求出α粒子剛進人磁場時的動能．
（2）粒子沿x軸正方向射出的粒子進入磁場偏轉的角度最大，若該粒子進入磁場不能打在ab板上，則所有粒子均不能打在ab板上．根據帶電粒子在電場中類平拋運動，求出進入磁場中的偏轉角度，結合幾何關系得出軌道半徑，從而得出磁感應強度的大�。�
（3）沿x軸負方向射出的粒子若能打到ab板上，則所有粒子均能打到板上．其臨界情況就是此粒子軌跡恰好與ab板相切．根據帶電粒子在磁場中運動的軌道半徑大小得出磁場的寬度，從而確定出ab板移動的位置，根據幾何關系求出ab板上被α粒子打中的區(qū)域的長度．

解答 解：（1）根據動能定理：qEd=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
可得α粒子剛進入磁場時的動能  E_k=$\frac{1}{2}$mv²=Eqd+$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2qd}$•qd+$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=2$m{v}_{0}^{2}$
（2）根據上題結果可知v=2v₀，對于沿x軸正方向射出的粒子進入磁場時與x軸正方向夾角 θ=$\frac{π}{3}$，其在電場中沿x方向的位移 x₁=v₀t
又 d=$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}{t}^{2}$
聯立得 x₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}d$
，易知若此粒子不能打到ab板上，則所有粒子均不能打到ab板，因此此粒子軌跡必與ab板相切，可得其圓周運動的半徑應滿足：r+rcos$\frac{π}{3}$=3d，r=2d
又根據洛倫茲力提供向心力，則有 Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
可得 B=$\frac{mv}{qr}$=$\frac{2m{v}_{0}}{q•2d}$=$\frac{m{v}_{0}}{qd}$
（3）易知沿x軸負方向射出的粒子若能打到ab板上，則所有粒子均能打到板上．其臨界情況就是此粒子軌跡恰好與ab板相切．由圖可知此時磁場寬度為原來的$\frac{1}{3}$，
即當ab板位于y=$\frac{4}{3}$d的位置時，恰好所有粒子均能打到板上；
ab板上被打中區(qū)域的長度 L=2x₁+r=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$d+2d
答：（1）α粒子剛進人磁場時的動能為2mv₀²．
（2）磁感應強度B的大小為$\frac{m{v}_{0}}{qd}$．
（3）當ab板位于y=$\frac{4}{3}$d的位置時，恰好所有粒子均能打到板上，打中區(qū)域的長度為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$d+2d．

點評 本題考查了帶電粒子在電場和磁場中的運動，關鍵確定粒子運動的臨界情況，通過幾何關系解決，對學生數學幾何能力要求較高．