Question

計劃發(fā)射一顆距離地面高度為地球半徑R₀的圓形軌道地球衛(wèi)星，衛(wèi)星軌道平面與赤道平面重合，已知地球表面重力加速度為g，
（1）求出衛(wèi)星繞地心運動周期T
（2）設(shè)地球自轉(zhuǎn)周期T₀，該衛(wèi)星繞地旋轉(zhuǎn)方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，則在赤道上某一點的人能連續(xù)看到該衛(wèi)星的時間是多少？

Answer 1

分析：（1）要求衛(wèi)星繞地球運動的周期，可利用萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運動的向心力即

GMm

(2R0)2

=m

4π2

T2

（2R₀）求解T，要求T必須知道地球的質(zhì)量M，而由于地球的質(zhì)量未知，但地球表面的重力加速度g已知，故應(yīng)該利用黃金代換公式

GMm

R02

=mg求出地球的質(zhì)量M．
（2）當衛(wèi)星與觀察者的連線與觀察者所在的地球的半徑垂直時觀察者開始看到衛(wèi)星，當衛(wèi)星與人的連線與人所在的地球的半徑垂直時人對衛(wèi)星的觀察結(jié)束，故人隨地球轉(zhuǎn)動時人轉(zhuǎn)過的圓心角為OB₁與OB₂的夾角，該夾角大小為

t

T0

2π，衛(wèi)星也在繞地球運動，其轉(zhuǎn)過的角度為

t

T

2π，而OA₂與OB₂之間的夾角等于OA₁與OB₁之間的夾角設(shè)為θ，而則cosθ=

OB1

OA1

=

1

2

，故θ=

π

3

．所以

2π

3

+

t

T0

2π=

t

T

2π．

解答：解：（1）地球?qū)πl(wèi)星的引力提供衛(wèi)星做勻速圓周運動的向心力，故有

GMm

(2R0)2

=m

4π2

T2

（2R₀）
由于地球的質(zhì)量未知，而地球表面的重力加速度g已知，
故有

GMm

R02

=mg
聯(lián)立以上二式可得衛(wèi)星繞地心運動周期T=2π

8R0 g

=4π

R0 g

（2）設(shè)人在B₁位置剛好看見衛(wèi)星出現(xiàn)在A₁位置，最后在B₂位置看到衛(wèi)星從A₂位置消失，OA₁=2OB₁
設(shè)∠A₁OB₁=∠A₂OB₂=θ
則cosθ=

OB1

OA1

=

1

2

，
所以θ=

π

3

 
設(shè)人從B₁位置到B₂位置的時間為t，則人轉(zhuǎn)過的角度為

t

T0

2π，
衛(wèi)星轉(zhuǎn)過的角度為

t

T

2π，
故有

2π

3

+

t

T0

2π=

t

T

2π，
將衛(wèi)星繞地心運動周期T=2π

8R0 g

代入上式可得
t=

TT0

3(T0-T)

=

2π 8R0 g T0

3(T0-2π 8R0 g )

=

4π 2R0 g T0

3(T0-4π 2R0 g )

答：（1）衛(wèi)星繞地心運動周期T等于4π

R0 g

．
（2）在赤道上某一點的人能連續(xù)看到該衛(wèi)星的時間是

4π 2R0 g T0

3(T0-4π 2R0 g )

．

點評：在地球的質(zhì)量不知而地球表面的重力加速度已知時，要用黃金代換公式表示地球的質(zhì)量，這是我們經(jīng)常使用的方法，要注意掌握．